（徐州专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第07课时 一元二次方程及其应

第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程的根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等-𝒃𝒂没有𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练1.[九上P20习题第9题改编]若关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则k的非负整数值是()A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3[答案]B[解析]当b2-4ac0,即(-2)2-4×1×(k-1)0时,解得k2,其非负整数解为0,1,故选B.2.[九上P29习题第3题改编]某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t.设这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是()A.3000(1+x)=3630B.3000(1+2x)=3630C.3000(1+x)2=3630D.3000(1+x)+3000(1+x)2=3630[答案]C[解析]由于两年后的粮食产量可用3000(1+x)2表示,又两年后的粮食产量是3630t,可列方程3000(1+x)2=3630,故选C.3.[九上P20习题第6(3)题改编]方程x(x-3)=10的解是x=.[答案]5或-2[解析]将方程整理变形为x2-3x-10=0,∵a=1,b=-3,c=-10,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-10)=490,∴x=-(-3)±492×1=3±72,∴x1=3+72=5,x2=3-72=-2.题组二易错题D4.[2019·山西]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5[答案]D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2,∵原方程有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解之得,k≥32,∴k的取值范围为k≥32且k≠2,故选D.5.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠26.[2019·山西]如图7-2,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2.设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.图7-2(12-x)(8-x)=77考向一一元二次方程的有关概念例1若关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,则k的值是()A.0B.0或1C.1D.12[答案]A[解析]∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根为0,∴k2-k=0,且k-1≠0,解得k=1或k=0,且k≠1,则k=0.|考向精练|[答案]1[2019·南京]已知2+3是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=.[解析]把x=2+3代入方程得(2+3)2-4(2+3)+m=0,解得m=1.故答案为1.考向二一元二次方程的解法解:方法一:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.∴x1=3,x2=9.例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.方法一(公式法):方法二(配方法):方法二:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.【方法点析】解一元二次方程时,要先思考,然后选择解法.一般地,首选因式分解法,再选配方法,公式法是通法,但一般都是“没有办法的办法”.|考向精练|1.[2019·徐州11题]方程x2-4=0的解为.x1=2,x2=-22.[2018·徐州20(1)题]解方程:2x2-x-1=0.解:把方程左边因式分解得:(2x+1)(x-1)=0,∴x1=,x2=1.-123.[2015·徐州20(1)题]解方程:x2-2x-3=0.解:因式分解得:(x+1)(x-3)=0,即x+1=0或x-3=0,解得x1=-1,x2=3.4.[2014·徐州20(1)题]解方程:x2+4x-1=0.解:原方程可化为x2+4x+4-4-1=0,即(x+2)2=5,两边开方得,x+2=±5,解得x1=-2+5,x2=-2-5.考向三一元二次方程根的判别式解:因为b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2-1)=4k+5.所以(1)当b2-4ac0,即4k+50,k-54时,方程有两个不相等的实数根.例3当k取什么实数时,方程x2-(2k+1)x+k2-1=0符合下列要求:(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)有一根为0?(4)无实数根?解:因为b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2-1)=4k+5.所以(2)当b2-4ac=0,即4k+5=0,k=-54时,方程有两个相等的实数根.例3当k取什么实数时,方程x2-(2k+1)x+k2-1=0符合下列要求:(2)有两个相等的实数根?例3当k取什么实数时,方程x2-(2k+1)x+k2-1=0符合下列要求:(3)有一根为0?解:因为b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2-1)=4k+5.所以(3)当k2-1=0,即k=±1时,方程有一根为0.解:因为b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2-1)=4k+5.所以(4)当b2-4ac0,即4k+50,k-54时,方程无实数根.例3当k取什么实数时,方程x2-(2k+1)x+k2-1=0符合下列要求:(4)无实数根?|考向精练|[答案]-31.[2015·徐州13题]已知关于x的一元二次方程x2-23x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为.[解析]∵关于x的一元二次方程x2-23x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,即(-23)2-4×(-k)=12+4k=0,解得k=-3.[答案]22.[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1𝑎+c的值为.[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0,整理得:4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4,∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,∴a≠0,等式两边同时除以4a得,c-2=-1𝑎,则1𝑎+c=2,故答案为2.3.[2019·盐城]设x1,x2是方程x2-3x+2=0的两个根,则x1+x2-x1·x2=.1考向四一元二次方程的应用例4将一条长为20cm的铁丝剪成两段,分别以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这条铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为20-4𝑥4=(5-x)cm.根据题意,得x2+(5-x)2=17,解方程,得x1=1,x2=4.因此这条铁丝剪成两段后的长度分别是4cm,16cm.例4将一条长为20cm的铁丝剪成两段,分别以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解:(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.理由:解法1:设两个正方形的面积和为ycm2,则y=x2+(5-x)2=2𝑥-522+252(0x5),∵当x=52时,y的最小值为12.512,∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.解法2:由(1)可知x2+(5-x)2=12,化简得2x2-10x+13=0.∵Δ=(-10)2-4×2×13=-40,∴方程无实数解.∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.|考向精练|1.[2016·徐州8题]图7-3是由三个边长分别为6,9,x的正方形所组成的图形.若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是()A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6图7-3[答案]D[解析]如图,根据直线AB将其分成面积相等的两部分,可得12×(6+9+x)×9-x·(9-x)=12×(62+92+x2),解得x=3或x=6.故选D.2.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=1B3.[2019·徐州25题]如图7-4,有一个矩形的硬纸板,长为30cm,宽为20cm,在其四个角各剪去一个相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一个无盖的长方体盒子,当剪去的小正方形的边长为何值时,所得长方体盒子的底面积为200cm2?解:设剪去的小正方形的边长为xcm,根据题意有,(30-2x)(20-2x)=200,解得x1=5,x2=20.当x=20时,30-2x0,20-2x0,所以x=5.答:当剪去的小正方形的边长为5cm时,长方体盒子的底面积为200cm2.图7-44.[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?26解:(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意,舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.