山东省烟台市2015届高三下学期一模考试数学理试题

山东烟台2015高考诊断性测试数学理一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合11,0,,12，集合2,xyyx，则集合（）A.11,0,,12B.10,,12C.1,12D.0,12.复数321izi的共轭复数z（）A.5122iB.5122iC.1522iD.1522i3.“22k，k”是“函数cos2fxx的图象过原点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（）A.甲成绩稳定且平均成绩较高B.乙成绩稳定且平均成绩较高C.甲成绩稳定，乙平均成绩较高D.乙成绩稳定，甲平均成绩较高5.某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（）A.12B.13C.14D.156.已知，0,，且1tan2，1tan7，则2的值是（）A.4B.4C.34D.347.设点,ab是区域4000xyxy内的随机点，函数241yaxbx在区间1,上是增函数的概率为（）A.13B.23C.14D.128.若双曲线22221xyab（0a，0b）的左.右焦点分别为1F.2F，线段12FF被抛物线22ybx的焦点分成5:3两段，则此双曲线的离心率为（）A.2B.3C.324D.2339.已知是C内一点，且C23，C30，若C..C的面积分别为12.x.y，则14xy的最小值是（）A.9B.16C.18D.2010.已知函数2log1fxax（0a），定义函数,0F,0fxxxfxx，给出下列命题：①Fxfx；②函数Fx是偶函数；③当0a时，若01mn，则有FF0mn成立；④当0a时，函数F2yx有4个零点.其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.若不等式2log122xxm恒成立，则实数m的取值范围是.12.现有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把4枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种（用数字作答）.13.若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是.14.已知xxfxe，1fxfx，21fxfx，，1nnfxfx，n，经计算：11xxfxe，22xxfxe，33xxfxe，，照此规律则nfx.15.已知圆C:22431xy和两点,0m，,0m（0m），若圆C上至少存在一点，使得90，则m的取值范围是.三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在C中，角..C所对的边分别为a.b.c，已知222sinsinCsinsinsinC.1求角的大小；2若1cos3，3a，求c值.17.（本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科.文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试.1求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；2记为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知等差数列na中，11a，前n项和为nS且满足条件：2421nnSnSn（n）.1求数列na的通项公式；2若数列nb的前n项和为n，且有111nnnnbb（n），13b，证明：数列1nb是等比数列；又211nnnacb，求数列nc的前n项和Wn.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD中，D//C，D，，C22D4，平面平面CD.1求证：平面D平面C；2若直线与平面C所成的角的正弦值为55，求二面角CD的余弦值.20.（本小题满分13分）已知椭圆C:22221xyab（0ab）的右焦点F1,0，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，Q两点，当直线Q经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.1求椭圆C的方程；2设为坐标原点，线段F上是否存在点,0t，使得QQQ？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数211axfxx（0a）.1当1a时，求函数fx图象在点0,1处的切线方程；2求函数fx的单调区间；3若0a，2mxgxxe，且对任意的1x，20,2x，12fxgx恒成立，求实数m的取值范围.参考答案一.选择题1.C2.B3.A4.D5.C6.C7.A8.D9.C10.D二.填空题11.(,1]12.513.1014.(1)()enxxn15.46m三.解答题16.解：（1）由正弦定理可得222bcabc，由余弦定理：2221cos22bcaAbc，…………………2分因为(0,)A，所以3A.（2）由（1）可知，3sin2A，…………………4分因为1cos3B，B为三角形的内角，所以22sin3B，…………………6分故sinsin()sincoscossinCABABAB3112232223236…………………9分由正弦定理sinsinacAC，得332226sin1sin6332acCA.…………………12分17.解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：11235328914CCCPC.…………………4分（2）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分相应的概率分别是02153321849(0)112CCCPCC,1112353321218484148(1)112CCCCPCCCC，1121355321218484145(2)112CCCCPCCCC,252184110(3)112CPCC,………………9分所以的分布列为：0123P911248112451121011248451031231121121122E.18.解：2133,1)(124)1(21112122aaaaaSSnNnnnSSnn得结合，则当………………2分∴ndnaaaadn)1(1112所以)(Nnnan………………4分（2）由nnnnnnnnbTbTbTbT11111可得所以121nnnbTT，121nnbb，)1(211nnbb………………4分所以}1{nb是等比数列且112b，2q公比………………6分∴nnnnqbb222)1(1111∴12nnb………………8分∴nnnnnnnbac)21()12(212112………………9分∴nnnnccccW)21()12()21(7)21(5)21(332321利用错位相减法，可以求得2552nnnW.………………12分19.解：（1）∵平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ABPA，∴PA平面ABCD,………………2分又∵ABAD，故可建立空间直角坐标系oxyz如图所示，不妨设4,BCAP(0),则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)DECP，∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)ACAPDE，∴4400,0DEACDEAP，………………4分∴,DEACDEAP，∴DE平面PAC.又DE平面PED∴平面PED平面PAC………………6分（2）由（1），平面PAC的一个法向量是(2,1,0)DE，(2,1,)PE,设直线PE与平面PAC所成的角为，2415sin|cos,|||555PEDE，解得2，∵0∴2，即(0,0,2)P………………8分设平面PCD的一个法向量为(,,)xyzn，(2,2,0),(0,2,2)DCDP，由,DCDPnn,∴220220xyyz，不妨令1x，则(1,1,1)n………………10分∴2115cos,535nDE,显然二面角APCD的平面角是锐角，∴二面角APCD的余弦值为155.……………12分20.解：（1）由题意知1c，又tan603bc，所以23b，……………2分2224abc，所以椭圆的方程为：22143xy；……………4分（2）设直线PQ的方程为：(1),(0)ykxk，代入22143xy，得：2222(34)84120kxkxk设1122(,),(,)PxyQxy，线段PQ的中点为00(,)Rxy，则2120002243,(1)23434xxkkxykxkk，……………7分由QPTPPQTQ得：()(2)0PQTQTPPQTR，所以直线TR为直线PQ的垂直平分线，直线TR的方程为：222314()3434kkyxkkk，……………9分令0y得：T点的横坐标22213344ktkk，……………10分因为2(0,)k，所以234(4,)k，所以1(0,)4t.……………12分所以线段OF上存在点(,0)Tt使得QPTPPQTQ，其中1(0,)4t.……………13分21.解（1）当1a时，2()11xfxx，(0)1f，222222(1)21()(1)(1)xxxxfxxx，……………2分所以(0)1f，切线方程为11(0)yx，即10xy……………4分（2）由题意可知，函数()fx的定义域为R，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)axaxxaxaxxfxxxx，……………6分当0a时，(1,1)x，()0fx，()fx为增函数，(,1),(1,)x，()0fx，()fx为减函数；当0a时，(1,1)x，()0fx，()fx为减函数，(,1),(1,)x，()0fx，()fx为增函数.……………8分（3）“对任意的1212,[0,2],()()xxfxgx恒成立”等价于“当0a时，对任意的12minmax,[0,2],()()xxfxgx成立”，当0a时，由（2）可知，函数()fx在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而2(0)1,(2)115aff，所以()fx的最小值为(0)1f，22()2ee(2)emxmxmxgxxxmmxx，当0m时，2()gxx，[0,2]x时，max()(2)4gxg，显然不满足max()1gx，