北京市朝阳区2016届高三数学第一次综合练习(一模)试题-理

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2016．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i为虚数单位，复数2i1i=A．1iB．1iC．1iD．1i2．已知全集UR，函数ln(1)yx的定义域为M，集合20Nxxx，则下列结论正确的是A．MNNB．UMNðC．MNUD．UMNð3．“ab”是“eeab”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为A．42B．19C．8D．35．在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,.abc若222()tan3acbBac，则角B的值为A．3B．6C．233或D．566或开始1,1iS4?i1ii2SSi输出S结束否是(第4题图)6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A．13B．12C．1D．328．若圆222(1)xyr与曲线(1)1xy的没有公共点，则半径r的取值范围是A．02rB．1102rC．03rD．1302r第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式251()xx的展开式中含4x的项的系数是（用数字作答）．10．已知等差数列}{na(nN)中，11a，47a，则数列}{na的通项公式na；2610410naaaa______．万元月O2O343011020568O9107111512406050709080收入支出(第7题图)正视图侧视图俯视图211111．在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为222xy，曲线2C的参数方程为2,(xttyt为参数)．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C与2C的交点的极坐标．．．为．12．不等式组0,,290xyxxy所表示的平面区域为D．若直线(1)yax与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．13．已知M为ABC所在平面内的一点，且14AMABnAC．若点M在ABC的内部(不含边界)，则实数n的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（1,2,,12i）项能力特征用ix表示，0,1iixi如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,AB的十二项能力特征分别记为1212(,,,)Aaaa，1212(,,,)Bbbb，则,AB两名学生的不同能力特征项数为（用,iiab表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数213()sin3cos222xfxx，0．（Ⅰ）若1，求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f，求()fx的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．人数本数12345（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s与女学生阅读名著本数的方差22s的大小（只需写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AABB中，190AAB，11//ABAB，11122ABAAAB．直角梯形11AACC通过直角梯形11AABB以直线1AA为轴旋转得到，且使得平面11AACC平面11AABB．M为线段BC的中点，P为线段1BB上的动点．（Ⅰ）求证：11ACAP；（Ⅱ）当点P是线段1BB中点时，求二面角PAMB的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线1AC//平面AMP？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()fxln,xaxaR．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当1,2x时，都有()0fx成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P，可作多少条直线与曲线()yfx相切？并说明理由．性别男生14322女生01331AMPCBA1C1B119．（本小题满分14分）已知点(2,1)P和椭圆:C22142xy．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，试求12PFF的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l220(0)xymm与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：PMPN．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{na的通项公式31()nannN.设数列{}nb为等比数列,且nnkba.（Ⅰ）若11=2ba,且等比数列{}nb的公比最小，（ⅰ）写出数列{}nb的前4项；（ⅱ）求数列{}nk的通项公式；（Ⅱ）证明：以125ba为首项的无穷等比数列{}nb有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．3一、选择题：（满分40分）题号12345678答案DDABCDAC二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案1021nan,(3)(411)nn(2,)43(,]43(0,)4121||iiiab22（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1时，213()sin3cos222xfxx13sincos22xxsin()3x．令22,232kxkkZ．解得22,66kxkkZ．所以()fx的单调递增区间是[2,2],66kkkZ.……………………7分（Ⅱ）由213()sin3cos222xfxx13sincos22xxsin()3x．因为()13f，所以sin()133．则2332n，nZ．解得162n．又因为函数()fx的最小正周期2T，且0，所以当12时，T的最大值为4．………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，13+417()=12896PA．………………………………………4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70CPXC；134448168(1)7035CCPXC；2244483618(2)7035CCPXC；314448168(3)7035CCPXC；44481(4)70CPXC．所以随机变量X的分布列为X01234P1708351835835170随机变量X的均值116361610123427070707070EX．…………10分（Ⅲ）21s22s．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190AABAAC，且平面11AACC平面11AABB，所以90BAC，即ACAB．又因为1ACAA且1ABAAA，所以AC平面11AABB．由已知11//ACAC，所以11AC平面11AABB．因为AP平面11AABB，所以11ACAP．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,ACABAA两两垂直．分别以1,,ACABAA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知11111222ABACAAABAC，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),ABC1(0,1,2)B，1(0,0,2)A．因为M为线段BC的中点，P为线段1BB的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2MP．易知平面ABM的一个法向量(0,0,1)m．设平面APM的一个法向量为(,,)xyzn，由0,0,AMAPnn得0,30.2xyyz取2y，得(2,2,3)n．由图可知，二面角PAMB的大小为锐角，所以3317cos,1717mnmnmn．所以二面角PAMB的余弦值为31717．………………………………9分（Ⅲ）存在点P，使得直线1AC//平面AMP．设111(,,)Pxyz，且1BPBB，[0,1]，则111(,2,)(0,1,2)xyz，所以1110,2,2xyz．所以(0,2,2)AP．设平面AMP的一个法向量为0000(,,)xyzn，由000,0,AMAPnn得00000,(2)20.xyyzyxAMPCBA1C1B1z取01y，得02(1,1,)2n（显然0不符合题意）．又1(2,0,2)AC，若1AC//平面AMP，则10ACn．所以10220ACn．所以23．所以在线段1BB上存在点P，且12BPPB时，使得直线1AC//平面AMP．…………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为0xx．()1axafxxx．（1）当0a时，()0fx恒成立，函数()fx在(0,)上单调递增；（2）当0a时，令()0fx，得xa．当0xa时，()0fx，函数()fx为减函数；当xa时，()0fx，函数()fx为增函数．综上所述，当0a时，函数()fx的单调递增区间为(0,)．当0a时，函数()fx的单调递减区间为(0,)a，单调递增区间为(+)a，．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a时，即1a时，函数()fx在区间1,2上为增函数，所以在区间1,2上，min()(1)1fxf，显然函数()fx在区间1,2上恒大于零；（2）当12a时，即21a时，函数()fx在1a，上为减函数，在,2a上为增函数，所以min()()ln()fxfaaaa．依题意有min()ln()0fxaaa，解得ea，所以21a．（3）当2a时，即2a时，()fx在区间1,2上为减函数，所以min()(2)2+ln2fxfa．依题意有min()2+ln20fxa，解得2ln2a，所以22ln2a．综上所述，当2ln2a时，函数()fx在区间1,2上恒大于零．………………8分（Ⅲ）设切点为000,ln)xxax（，则切线斜率01akx，切线方程为0000(ln)(1)()ayxaxxxx．因为切线过点(1,3)P，则00003(ln