安徽省江南十校2015届高三数学上学期期末试卷-理(含解析)

安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．甲＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．甲＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A．3B．﹣2C．﹣D．4．（5分）设{an}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A．﹣1B．﹣C．D．5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞a＞c6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A．8.5B．10.5C．12.5D．14.57．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）A．B．6C．12D．78．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4二．填空题11．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为．12．（5分）已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m=．13．（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+…+S10=．14．（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若ai∈A（i=1，2，3，4，5），则a=．15．（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1（x∈R），则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）．①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x=对称；③f（x）的最小值为﹣2；④f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．三．解答题16．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosB是方程3x2﹣10x+3=0的一个根，求sinC的值．17．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）•ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．18．（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则（1）小明在加试中至少答对3题的概率（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．20．（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x﹣5cosα）2+（y﹣5sinα﹣2）2=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．（Ⅰ）求圆D的方程；（Ⅱ）试用d表示•，并求•的最小值．21．（13分）设数列{an}各项均为正数，且满足an+1=an﹣an2．（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有an≤；（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S2n﹣Sn﹣1＜ln2．安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则z可求．解答：解：由（1+i）=2﹣i，得，故．故选：A．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．甲＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．甲＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：计算甲乙二人的平均数与方差，比较计算结果即可．解答：解：根据茎叶图，知；甲的平均成绩为===25.6，乙的平均成绩为===22.6，甲的方差为=×[（14﹣25.6）2+（25﹣25.6）2+（26﹣25.6）2+（30﹣25.6）2+（33﹣25.6）2]=41.84，乙的方差为=[（16﹣22.6）2+2+（22﹣22.6）2+（24﹣22.6）2+（31﹣22.6）2]=24.64；∴＞，＞；即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．故选：B．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A．3B．﹣2C．﹣D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A，i的值，当i=4时，结束循环，输出A的值为3．解答：解：执行程序框图，第1次运行：A=﹣2，i=1；第2次运行：A=﹣，i=2；第3次运行：A=，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A的值为3．故选：A．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．4．（5分）设{an}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A．﹣1B．﹣C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和得到S1，S2，S4，再由S1，S2，S4成等比数列列式求得d的值．解答：解：∵，S2=2a1+d=d﹣1，S4=4a1+6d=6d﹣2，且S1，S2，S4成等比数列，则，解得：d=﹣1或d=0（舍）．故选：A．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.1＞1，b=ln0.1＜0，0＜c=sin1＜1，∴a＞b＞c．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A．8.5B．10.5C．12.5D．14.5考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：此题类似于函数的周期性，应先将f（5.5）转化到区间[0，2]上来，然后取整求解．解答：解：由题意f（x+2）=2f（x）+x得：f（5.5）=2f（3.5）+3.5=2[2f（1.5）+1.5]+3.5=4f（1.5）+6.5=4×1+6.5=10.5．故选B点评：本题考查了抽象函数的性质，此题的关键在于利用条件“f（x+2）=2f（x）+x”实现将所求转化为已知．这是此类问题考查的主要解题思想．7．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）A．B．6C．12D．7考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可．解答：解：由（t为参数）得，直线l普通方程是：，由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2﹣168x+9=0，所以△＞0，且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，故选：C．点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题．8．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对四个选项分别分析，利用线面关系逐一分析，选择正确答案．解答：解：对于A，l可能在平面α内，所以A错误；对于B，l可能在平面α内，所以B错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确；故选D．点评：本题考查了线面关系的判断，考查学生的空间想象能力．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．解出即可．解答：解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．则该几何体的表面积S=+4×2×4+22﹣π×12+=44+π．故选：A．点评：本题考查了组合体的三视图及其表面积计算，属于基础题．10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4考点：基本不等式；平面向