江苏省南通市2016届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题

南通市2016届高三教学情况调研（三）数学(满分160分，考试时间120分钟)2016．3参考公式：棱锥的体积公式：V棱锥＝13Sh，其中S为棱锥的底面积，h为高．(第3题)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设复数z满足(1＋2i)·z＝3(i为虚数单位)，则复数z的实部为____________．2.设集合A＝{－1，0，1}，B＝a－1，a＋1a，A∩B＝{0}，则实数a的值为____________．3.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是__________．4.为了解一批灯泡(共5000只)的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命(单位：h)如下表：使用寿命[500，700)[700，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500]只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是__________．5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是__________．(第6题)6.已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．7.设函数y＝sinωx＋π3(0＜x＜π)，当且仅当x＝π12时，y取得最大值，则正数ω的值为____________．8.在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是________．9.在体积为32的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有值为____________．10.在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－3)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．(第12题)11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．12.如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3.点B，C分别在m，n上，|AB→＋AC→|＝5，则AB→·AC→的最大值是____________．13.设实数x，y满足x24－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__________．14.若存在α，β∈R，使得t＝cos3β＋α2cosβ，α≤t≤α－5cosβ，则实数t的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.(1)求C的值；(2)若A＝15°，AB＝2，求△ABC的周长．16.(本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：(1)AP∥平面C1MN；(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.17.(本小题满分14分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB(∠AEB＝90°)，如图1所示，其中AE＋EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB(AB＞EF)，如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP→＝2AO→.(1)若点P的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且BP→＝mBC→，直线OA，OB的斜率之积为－12，求实数m的值．19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝(x＋k＋1)x－k，g(x)＝x－k＋3，其中k是实数．(1)若k＝0，解不等式x·f(x)≥12x＋3·g(x)；(2)若k≥0，求关于x的方程f(x)＝x·g(x)实根的个数．20.(本小题满分16分)设数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和Sn＝14(an＋1)2，n∈N*.(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)等比数列{bn}的各项均为正数，bnbn＋1≥S2n，n∈N*，且存在整数k≥2，使得bkbk＋1＝S2k.(ⅰ)求数列{bn}公比q的最小值(用k表示)；(ⅱ)当n≥2时，bn∈N*，求数列{bn}的通项公式．2016届高三教学情况调研(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修41：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB＝AC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DE⊥AC.B.(选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝－1001对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．C.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，已知直线x＝－1＋55t，y＝－1＋255t(t为参数)与曲线x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．D.(选修45：不等式选讲)已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1)求概率P(X＝0)的值；(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中ai∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1)当k＝2时，求m(1)的值；(2)求m(3)关于k的表达式，并化简．2016届高三教学情况调研(三)(南通市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.352.13.174.14005.256.927.28.1499.7，1910.411.712.21413.42＋614.－23，1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.解：(1)因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝1，(4分)即tan(180°－C)＝1，亦即tanC＝－1，因为0°C180°，所以C＝135°.(6分)(2)在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°.由正弦定理BCsinA＝CAsinB＝ABsinC，得BCsin15°＝CAsin30°＝2sin135°＝2，(9分)故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin45°cos30°－cos45°sin30°)＝6－22，(12分)CA＝2sin30°＝1.所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝2＋1＋6－22＝2＋6＋22.(14分)16.证明：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形．从而AP∥C1M.(4分)又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN；(6分)(第16题)(2)连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.又M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.所以MN⊥BD.(8分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD.又MN⊂平面ABCD所以DD1⊥MN.而DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面BDD1B1，所以MN⊥平面BDD1B1.(12分)又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.(14分)17.解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.方案①设AE＝x，则S1＝12x(30x－x)(3分)≤12x＋（30－x）22＝2252(当且仅当x＝15时，“＝”成立)．(5分)方案②设∠BAE＝θ，则S2＝100sinθ(1＋cosθ)，θ∈0，π2.(8分)由S′2＝100(2cos2θ＋cosθ－1)＝0得，cosθ＝12(cosθ＝－1舍去)．(10分)因为θ∈0，π2，所以θ＝π3，列表：θ0，π3π3π3，π2S′2＋0－S2极大值所以当θ＝π3时，(S2)max＝753.(12分)因为2252753，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE＝π3.答：方案①，②苗圃的最大面积分别为2252m2，753m2，建苗圃时用方案②，且∠BAE＝π3.(14分)18.解：(1)因为OP→＝2AO→，而P(2，2)，所以A－1，－22.代入椭圆方程，得1a2＋12b2＝1，①(2分)又椭圆的离心率为22，所以1－b2a2＝22.②(4分)由①②，得a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为x22＋y2＝1.(6分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．因为OP→＝2AO→，所以P(－2x1，－2y1)．因为BP→＝mBC→，所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，即－2x1－x2＝m（x3－x2），－2y1－y2＝m（y3－y2），于是x3＝m－1mx2－2mx1，y3＝m－1my2－2my1，(9分)代入椭圆方程，得m－1mx2－2mx12a2＋m－1my2－2my12b2＝1，即4m2x21a2＋y21b2＋（m－1）2m2x22a2＋y22b2－4（m－1）m2·x1x2a2＋y1y2b2＝1.③(12分)因为A，B在椭圆上，所以x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.④因为直线OA，OB的斜率之积为－12，即y1x1·y2x2＝－12，结合②知x1x2a2＋y1y2b2＝0.⑤(14分)将④⑤代入③，得4m2＋（m－1）2m2＝1，解得m＝52.(16分)19.解：(1)k＝0时，f(x)＝(x＋1)x，g(x)＝x＋3.由x≥0，x＋3≥0得x≥0.(2分)此时，原不等式为(x＋1)x≥12(x＋3)，即2x2＋x－3≥0，解得x≤－32或x≥1.所以原不等式的解集为[1，＋∞)．(5分)(2)由方程f(x)＝x·g(x)得，(x＋k＋1)x－k＝xx－k＋3.①由x－k≥0，x－k＋3≥0得x≥k，所以x≥0，x－k＋10.方程①两边平方，整理得(2k－1)x2－(k2－1)x－k(k＋1)2＝0(x≥