江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题1

N3xx开始输入x0x≤12xy输出y结束Y（第5题）2016年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．.1．已知集合0Axx≥，1Bxx，则AB＝▲．【答案】R2．某公司生产三种型号A，B，C的轿车，产量分别为1200辆，6000辆，2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取▲辆．【答案】63．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)xpyp的焦点坐标为(01)，，则实数p的值为▲．【答案】24．已知集合0A，，，，，，，，．现从集合A中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为▲．【答案】495．如图，是一个算法的程序框图，当输出的y值为2时，若将输入的x的所有可能值按从小到大的顺序排列得到一个数列na，则该数列的通项公式为na▲．【答案】34nan6．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为▲．【答案】34BACD1B1A1C1D(第9题）EF7．在平面直角坐标系xOy中，已知向量(12)，a，1(21)5，ab，则ab▲．【答案】258．已知xy，为正实数，满足26xyxy+，则xy的最小值为▲．【答案】189．如图，已知正四棱柱1111ABCDABCD的体积为36，点E，F分别为棱1BB，1CC上的点（异于端点），且//EFBC，则四棱锥1AAEFD的体积为▲．【答案】1210．设定义在区间，的函数()sin()fxx（其中0）是偶函数，则函数()fx的单调减区间为▲．【答案】(0，【解析】依题意，，则()cosfxx的减区间为(0，．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：22()(21)2xaya(11)a≤≤，直线l：yxb()bR．若动圆C总在直线l的下方且它们至多有1个交点，则实数b的最小值是▲．【答案】2【解析】依题意，圆心(12)Caa，(11)a≤≤的轨迹为线段12yx(11)x≤≤，当且仅当1a，且(12)22aab时，实数b的最小，此时2b．12．如图，三次函数32yaxbxcxd的零点为112,,，则该函数的单调减区间为▲．【答案】272733,【解析】设()(1)(1)(2)fxaxxx，其中0a，令()0fx得272733x，所以该函数的单调减区间为272733,；（第12题）112OxyxMyBOACABCO（第13题）13．如图，点O为△ABC的重心，且OAOB，6AB，则ACBC的值为▲．【答案】72【解析】以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则30A，，30B，，设()Cxy，，则O33yx，，因为OAOB，所以0AOBO，从而2330333yxx，化简得，2281xy，所以222(3)(3)972ACBCxxyxy．14．设kb，均为非零常数，给出如下三个条件：①{}na与{}nkab均为等比数列；②{}na为等差数列，{}nkab为等比数列；③{}na为等比数列，{}nkab为等差数列，其中一定能推导出数列{}na为常数列的是▲．（填上所有满足要求的条件的序号）【答案】①②③【解析】①易得211nnnkxbkxbkxb，即2222211112()nnnnnnkxkbxbkxxkbxxb，因为211nnnxxx，且0kb，所以112nnnxxx，即证；②由①知2222211112()nnnnnnkxkbxbkxxkbxxb，因为112nnnxxx，所以211nnnxxx，即证；③易得112nnnkxbkxbkxb，且0k，故112nnnxxx，又211nnnxxx，即证．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知π02，，ππ2，，1cos3，7sin9．（1）求tan2的值；（2）求sin的值．解：（1）因为22222222cossin1tan222coscossin22cossin1tan222，且1cos3，所以221tan1231tan2，解得2tan22，（4分）因为ππ2，，所以ππ242，，从而tan02，所以tan22．（6分）（2）因为ππ2，，1cos3，所以22221sin1cos133，（8分）又π02，，故π3π22，，从而22427cos1sin199，（10分）所以sinsin()sin()coscos()sin719342221933．（14分）16．（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，已知11ADAA，2AB，点E是AB的中点．（1）求三棱锥1CDDE的体积；（2）求证：11DEAD．【解】（1）由长方体性质可得,1DD平面DEC，AEBCD1AA1DA1CA1BA（第16题）所以1DD是三棱锥1DDCE的高,又点E是AB的中点，11ADAA，AB＝2，所以2DECE,222DEECCD，90DEC，三棱锥1DDCE的体积1111323VDDDECE；(7分)（2）连结1AD,因为11AADD是正方形,所以11ADAD，又AE面11ADDA，1AD面11ADDA,所以1AEAD，又1ADAEA，1ADAE，平面1ADE，所以1AD平面1ADE，(12分)而1DE平面1ADE,所以11DEAD．(14分)17．（本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/2m，1百元/2m，设圆锥母线与底面所成角为，且π04，，问当为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．解：设该仓库的侧面总造价为y，则152π55(1tan)12π542cosy（第17题）2sin50π1+cos，（6分）由22sin1cos50π0y得1sin2，π04，，所以π6，（10分）列表：所以当π6时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为533m．（14分）18．（本题满分16分）定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2214xy的所有内接菱形构成的集合为F．（1）求F中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与F中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．解：（1）如图，设11()Axy，，22()Bxy，，1当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，其面积为142142；2当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，设直线AC的方程为：ykx，①则直线BD的方程为：1yxk，又椭圆2214xy，②由①②得，212441xk，2212441kyk，π04，π6ππ64，y-0+y↘极小值↗xyOBCDA(第20题)从而22221124(1)41kOAxyk，同理可得，2222222221414(1)4141kkOBxykk，（3分）所以菱形ABCD的面积为2OAOB42422184174kkkk42422141714kkkk24294411714kkk221941417kk2294114217kk≥165(当且仅当1k时等号成立),综上得，菱形ABCD的最小面积为165；（6分）（2）存在定圆2245xy与F中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为d，下证：25d，证明：由(1)知，当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，25d，当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，22222OAOBdOAOB222222224(1)4(1)4144(1)4(1)414kkkkkkkk2222224(1)(1)(4)(1)(41)kkkkk22224(1)45(1)(55)kkk，即得25d，综上，存在定圆2245xy与F中的菱形都相切；（12分）（3）设直线AD的方程为3ytx，即30txyt，则点(00)O，到直线AD的距离为23251tt，解得21111t，所以直线AD的方程为211311yx．（16分）19．（本题满分16分）设a，b，c为实数，函数32()fxxaxbxc为R上的奇函数，且在区间1，上单调．（1）求a，b，c应满足的条件；（2）求函数()fx的单调区间；（3）设001()1xfx≥，≥，且00()ffxx，求证：00()fxx．解：（1）因为32()fxxaxbxc为R上的奇函数，所以()()fxfx，即32xaxbxc32xaxbxc，变形得，20axc，所以0ac，（2分）此时3()fxxbx在区间1，上单调，则2()30fxxb≥在区间1，上恒成立，得3b≤；（5分）（2）2()3fxxb，且3b≤，当0b≤时，2()30fxxb≥，所以函数()fx的单调增区间为()，；（7分）当0b时，2()30fxxb得，函数()fx的单调减区间为()33bb，，单调增区间为()3b，，()3b，；（10分）（3）设0()fxt，则1t≥，0()1ftx≥，即有300xbxt，且30tbtx，两式相减得，33000xbxtbttx，即2200010xtxxttb，因为1t≥，01x≥，3b≤，所以220011xxttb≥，故0xt，即00()fxx．（16分）20．（本题满分16分）若存在非零常数p，对任意的正整数n，212nnnaaap，则称数列na是“T数列”．（1）若数列na的前n项和2nSnnN，求证：na是“T数列”；（2）设na是各项均不为0的“T数列”．①若0p，求证：na不是等差数列；②若0p，求证：当1a，2a，3a成等差时，na是等差数列．解：（1）当1n时，111aS；当2n≥时，221(1)21nnnaSSnnn，所以21nan，nN，（3分）则na是“T数列”存在非零常数p，2(21)(21)(23)nnnp显然4p满足题意，所以na是“