（通用版）2020版高考数学复习 专题五 立体几何 5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断

5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断-2-高考命题规律1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1两条异面直线所成的角119命题角度2空间位置关系的综合判断146108-3-两条异面直线所成的角高考真题体验·对方向1.(2019浙江·8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.βγ,αγB.βα,βγC.βα,γαD.αβ,γβ答案:B-4-解析:如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=𝑃𝐹𝑃𝐵=𝐸𝐺𝑃𝐵=𝐷𝐻𝑃𝐵𝐵𝐷𝑃𝐵=cosβ,所以αβ,因为tanγ=𝑃𝐷𝐸𝐷𝑃𝐷𝐵𝐷=tanβ,所以γβ.故选B.-5-2.(2018全国Ⅱ·9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72答案:C解析:取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EF∥CD,故∠AEF为异面直线AE与CD所成的角.设正方体边长为2a,则易知AE=𝐴𝐶2+𝐶𝐸2=3a,AF=𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=5a,EF=2a.∴cos∠AEF=(3𝑎)2+(2𝑎)2-(5𝑎)22×3𝑎×2𝑎=23.∴sin∠AEF=53.∴tan∠AEF=52.-6-典题演练提能·刷高分1.(2019四川成都一模)在各棱长均相等的四面体A-BCD中,已知M是棱AD的中点,则异面直线BM与AC所成角的余弦值为()A.23B.25C.36D.26答案:C解析:设各棱长均相等的四面体A-BCD的棱长为2,取CD的中点N,连接MN,BN,∵M是棱AD的中点,∴MN∥AC,∴∠BMN是异面直线BM与AC所成角(或所成角的补角).又BM=BN=4-1=3,MN=1,∴cos∠BMN=𝐵𝑀2+𝑀𝑁2-𝐵𝑁22×𝐵𝑀×𝑀𝑁=3+1-32×3×1=36,∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为36,故选C.-7-2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16π,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为.答案:144解析:设外接球的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2R)2=16,故x=14,在Rt△BDD1中,∠DD1B即为异面直线所成的角,其余弦值为144.-8-3.(2019山东淄博一模)如图所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,∠ABC=120°,四边形BCC1B1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为.答案:64-9-解析:由题意知,可将原图补为如图所示的直四棱柱.∵BC1∥AD,∴异面直线BC1与AC所成角即为直线AD与AC所成角∠DAC,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+4-8cos120°=12,∴AC=23.又AD=CD=4+4=22,∴cos∠DAC=𝐴𝐷2+𝐴𝐶2-𝐶𝐷22𝐴𝐷·𝐴𝐶=8+12-82×22×23=64.-10-4.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为.-11-答案:66解析:取AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=CF,连接BF,DF,OF,则BF∥AE,所以∠DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.∵DA=DE=1,∴DO⊥AE,且|AO|=|DO|=22,在△ABO中,根据余弦定理得cos∠OAB=cos45°=|𝐴𝑂|2+|𝐴𝐵|2-|𝐵𝑂|22|𝐴𝑂|·|𝐴𝐵|=22.∴|BO|=102.同理可得|OF|=262.-12-又∵平面DAE⊥平面ABCE,平面DAE∩平面ABCE=AE,DO⊂平面DAE,∴DO⊥平面ABCE.∵BO⊂平面ABCE,∴DO⊥BO,∴|BD|2=|BO|2+|DO|2=12+52=3,即|BD|=3,同理可得|DF|=7.又∵BF=AE=2,∴在△DBF中,cos∠DBF=|𝐷𝐵|2+|𝐵𝐹|2-|𝐷𝐹|22|𝐷𝐵|·|𝐵𝐹|=3+2-72×3×2=-66,∵两直线的夹角的取值范围为0,π2,∴异面直线AE和DB所成角的余弦值为66.-13-空间位置关系的综合判断高考真题体验·对方向(2019全国Ⅲ·8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案:B-14-解析:如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.-15-设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,∴BM≠EN.故选B.-16-典题演练提能·刷高分1.(2019北京顺义统考二)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则()A.若m⊥α,α⊥β,则m∥βB.若m∥α,n⊥α,则m⊥nC.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βD.若m∥α,n∥α,则m∥n答案:B解析:选项A中,m∥β或m⊂β,故A错;易知选项B正确;选项C中,没有m,n相交的条件,故C错;选项D中,m,n的关系也可以相交或异面,故D错.故选B.-17-2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β,其中正确的序号是()A.①②B.①③C.②④D.③④答案:B解析:l⊥α,α∥β⇒l⊥β,而m⊂β,所以l⊥m,①对;l⊥α,m⊂β,α⊥β时,l,m位置关系不定;l⊥α,l∥m⇒m⊥α,而m⊂β,所以α⊥β,③对;l⊥α,m⊂β,l⊥m时,α,β位置关系不定.故选B.-18-3.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1-19-答案:B解析:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也可能满足前边的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α能相交.故答案为B.-20-4.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.①AC⊥BD;②AD⊥BC;③平面ABC⊥平面ABD;④平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4-21-答案:C解析:∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,∴BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,∴BD⊥AC,故①正确.∵BD⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC,故③正确.∵AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABD,故④正确.综上①③④正确,故选C.-22-5.(2019四川成都二模)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案:C解析:由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直可知,在A中,若c⊂平面α,则a与α相交、平行或a⊂α,故A错误;在B中,若c⊥平面α,则a,b与平面α平行或a,b中有一条在平面α内,故B错误;在C中,由线面垂直的性质得,存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α,故C正确;在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,则a∥b,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.-23-6.给出下列四个命题:①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α;②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;④若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C-24-解析:对于①,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α,故正确;对于②,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于③,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确;对于④,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确.故选C.-25-7.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4-26-答案:B解析:将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.综上可得①②正确.故选B.