（通用版）2020版高考数学复习 专题五 立体几何 5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断

5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断-2-高考命题规律1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1两条异面直线所成的角1110169命题角度2空间位置关系的综合判断14128-3-高考真题体验典题演练提能两条异面直线所成的角1.(2019浙江·8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.βγ,αγB.βα,βγC.βα,γαD.αβ,γβ答案:B-4-高考真题体验典题演练提能解析:如图,G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=𝑃𝐹𝑃𝐵=𝐸𝐺𝑃𝐵=𝐷𝐻𝑃𝐵𝐵𝐷𝑃𝐵=cosβ,所以αβ,因为tanγ=𝑃𝐷𝐸𝐷𝑃𝐷𝐵𝐷=tanβ,所以γβ.故选B.-5-高考真题体验典题演练提能2.(2018全国Ⅱ·9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22答案:C解析:以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图,D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).∴𝐴𝐷1=(-1,0,3),𝐷𝐵1=(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成的角为θ.∴cosθ=𝐴𝐷1·𝐷𝐵1|𝐴𝐷1||𝐷𝐵1|=22×5=55.∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.-6-高考真题体验典题演练提能3.(2017全国Ⅱ·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33答案:C-7-高考真题体验典题演练提能解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=2,AB1=5,则MN=12AB1=52,NP=12BC1=22.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×-12=7,即AC=7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=72.在△MQP中,可知MP=𝑀𝑄2+𝑃𝑄2=112.-8-高考真题体验典题演练提能在△PMN中,cos∠PNM=𝑀𝑁2+𝑁𝑃2-𝑃𝑀22·𝑀𝑁·𝑁𝑃=522+222-11222×52×22=-105,又异面直线所成角的范围为0,π2,故所求角的余弦值为105.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.由题意可知BC1=2,BD=22+12-2×2×1×cos60°=3,C1D=AB1=5.可知B𝐶12+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=25=105,故选C.-9-高考真题体验典题演练提能4.(2017全国Ⅲ·16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案:②③-10-高考真题体验典题演练提能解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=2,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.-11-高考真题体验典题演练提能1.(2019江西上饶一模)在空间四边形ABCD中,若AB=BC=CD=DA,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,则异面直线AC与EF所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,∵AB=AD,BC=CD,∴AO⊥BD,CO⊥BD.又AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC.取AD的中点M,连接EM,FM,∵E为AB的中点,F为CD的中点,∴EM∥BD,MF∥AC,∴EM⊥MF,异面直线AC与EF所成的角即为∠EFM.∵AC=BD,∴MF=EM,∴在Rt△EFM中,∠EFM=45°,即异面直线AC与EF所成的角为45°.-12-高考真题体验典题演练提能2.(2019山西运城二模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为()A.33B.105C.54D.32答案:B-13-高考真题体验典题演练提能解析:取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC的延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则E0,12,1,F0,32,0,Q12,1,0,B1(1,1,1),𝐸𝐹=(0,1,-1),𝑄𝐵1=12,0,1.设l与直线QB1所成的角为θ,则cosθ=|𝐸𝐹·𝑄𝐵1||𝐸𝐹||𝑄𝐵1|=12·54=105,故l与直线QB1所成角的余弦值为105.-14-高考真题体验典题演练提能3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16π,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为.答案:144解析:设外接球的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2R)2=16,故x=14,在Rt△BDD1中,∠DD1B即为异面直线所成的角,其余弦值为144.-15-高考真题体验典题演练提能4.(2019安徽“江南十校”二模)《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马S-ABCD,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=3,SA=,BC上有一点E,使截面SDE的周长最短,则SE与CD所成角的余弦值等于.3答案:24-16-高考真题体验典题演练提能解析:要使截面SDE的周长最短,则SE+ED最短,将底面ABCD沿BC翻折成平面图形A'BCD'(如图),使矩形A'BCD'和三角形SBC在同一平面上,连接SD',交BC于E,则SE+ED≥SD'.由AB=1,SA=3,得SB=2,故SA'=3,A'D'=AD=3,故BE=2.作EF∥CD交AD于点F,连接SF,则SE与CD所成角为∠SEF,易得SF⊥EF.又易知SE=22,EF=1,所以cos∠SEF=𝐸𝐹𝑆𝐸=122=24.-17-高考真题体验典题演练提能5.(2019福建漳州质检二)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为.答案:66-18-高考真题体验典题演练提能解析:如图所示,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,0,2),𝐸𝐹=(-1,-1,2),平面AA1D1D的法向量n=(0,1,0).设直线EF与平面AA1D1D所成的角为θ,则sinθ=|𝐸𝐹·𝑛||𝐸𝐹||𝑛|=66.故直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为66.-19-高考真题体验典题演练提能6.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为.答案:66-20-高考真题体验典题演练提能解析:取AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=CF,连接BF,DF,OF,则BF∥AE,所以∠DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.∵DA=DE=1,∴DO⊥AE,且|AO|=|DO|=22,在△ABO中,根据余弦定理得cos∠OAB=cos45°=|𝐴𝑂|2+|𝐴𝐵|2-|𝐵𝑂|22|𝐴𝑂|·|𝐴𝐵|=22.∴|BO|=102.同理可得|OF|=262.又∵平面DAE⊥平面ABCE,平面DAE∩平面ABCE=AE,DO⊂平面DAE,∴DO⊥平面ABCE.∵BO⊂平面ABCE,∴DO⊥BO,-21-高考真题体验典题演练提能∴|BD|2=|BO|2+|DO|2=12+52=3,即|BD|=3,同理可得|DF|=7.又∵BF=AE=2,∴在△DBF中,cos∠DBF=|𝐷𝐵|2+|𝐵𝐹|2-|𝐷𝐹|22|𝐷𝐵|·|𝐵𝐹|=3+2-72×3×2=-66,∵两直线的夹角的取值范围为0,π2,∴异面直线AE和DB所成角的余弦值为66.-22-高考真题体验典题演练提能空间位置关系的综合判断1.(2019全国Ⅲ·8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线-23-高考真题体验典题演练提能答案:B解析:如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.-24-高考真题体验典题演练提能设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,∴BM≠EN.故选B.-25-高考真题体验典题演练提能2.(2018全国Ⅰ·12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32答案:A解析:满足题设的平面α可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)-26-高考真题体验典题演练提能再将平面A1BC平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=12×[2(1-a)+2a+2a]2×32-3×12×(2a)2×32