（通用版）2020版高考数学复习 专题四 数列 4.2 数列解答题课件 文

4.2数列解答题-2-高考命题规律1.高考命题的完全考题,常与解三角形解答题交替在第17题呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1等差、等比数列的判定与证明1717171719命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用1717171718命题角度3一般数列的通项公式与前n项和的求解17-4-等差、等比数列的判定与证明高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)知,an+bn=12𝑛-1,an-bn=2n-1.所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12𝑛+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12𝑛-n+12.-5-2.(2018全国Ⅰ·17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=𝑎𝑛𝑛.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.-6-解:(1)由条件可得an+1=2(𝑛+1)𝑛an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得𝑎𝑛+1𝑛+1=2𝑎𝑛𝑛,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得𝑎𝑛𝑛=2n-1,所以an=n·2n-1.-7-3.(2017全国Ⅰ·17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得𝑎1(1+𝑞)=2,𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=-23+(-1)n2𝑛+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2𝑛+3-2𝑛+23=2-23+(-1)𝑛2𝑛+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.-8-典题演练提能·刷高分(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.1.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三上学期期中考试)已知数列{an}中,a1=32且an=12(an-1+n+1)(n≥2,n∈N*).-9-解:(1)由题意,可知:a2=12(a1+2+1)=1232+2+1=94,a3=12(a2+3+1)=1294+3+1=258.①当n=1时,a1-1=32-1=12,②当n≥2时,an-n=12(an-1+n+1)-n=12an-1+12n+12-n=12an-1-12n+12=12(an-1-n+1)=12[an-1-(n-1)].∴数列{an-n}是以12为首项,12为公比的等比数列.-10-(2)由(1)可知,an-n=12n,∴an=n+12n,n∈N*.∴bn=2n·an=2n·n+12n=n·2n+2n·12𝑛=n·2n+1.∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1·21+1)+(2·22+1)+(3·23+1)+…+(n·2n+1),∴Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n+n,③2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1+2n,④由③-④,可得:-Sn=1·21+1·22+1·23+…+1·2n-n·2n+1+n-2n=2-2𝑛+11-2-n·2n+1-n=(1-n)·2n+1-n-2,∴Sn=(n-1)·2n+1+n+2.-11-2.已知数列{an}的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列{bn}的前10项和S10.(1)证明:∵an=2n-11,∴an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{an}为等差数列.(2)解:由(1)得bn==|2n-11|,∴当n≤5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n≥6时,bn=|2n-11|=2n-11.∴S10=[55-2(1+2+3+4+5)]+[2(6+7+8+9+10)-55]=50.𝑎𝑛-12-3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,所以Tn=(2n-3)2n+3.①-②得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×2-2𝑛-1×21-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,-13-4.设a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.-14-解:(1)由题知𝑏𝑛+1+2𝑏𝑛+2=2𝑏𝑛+2+2𝑏𝑛+2=2,又∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=4×2n-1,故bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)=2+22(1-2𝑛-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n,-15-等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a10,求使得Sn≥an的n的取值范围.解:(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.由a10知d0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=𝑛(𝑛-9)𝑑2.-16-2.(2019北京·16)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.-17-解:(1)设{an}的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n≥7时,an0;当n≤6时,an≤0.所以,Sn的最小值为S6=-30.-18-3.(2018全国Ⅱ·17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.-19-4.(2018全国Ⅲ·17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)𝑛3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.-20-5.(2016全国Ⅰ·17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.13解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=𝑏𝑛3,因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1-13𝑛1-13=32−12×3𝑛-1.-21-6.(2016全国Ⅱ·17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2𝑛+35.-22-(2)由(1)知,bn=2𝑛+35.当n=1,2,3时,1≤2𝑛+352,bn=1;当n=4,5时,2≤2𝑛+353,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2𝑛+354,bn=3;当n=9,10时,4≤2𝑛+355,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.-23-典题演练提能·刷高分1.设等差数列{an}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求使Sn35成立的n的最小值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,d≠0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以𝑎32=a2·a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去).所以{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为an=2n-3,所以Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛(𝑎2+𝑎𝑛-1)2=n2-2n.依题意有n2-2n35,解得n7.故使Sn35成立的n的最小值为8.-24-2.(2019广东佛山第一中学高三上学期期中考试)等差数列{an}中,a1=