（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题一 常考小题点 1.4 平面向量题专项练课件 理

1.4平面向量题专项练-2-1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为非零向量,夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0;a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.3.平面内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线⇔⇔(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.𝐴𝐵∥𝐵𝐶-3-一、选择题二、填空题1.(2019全国卷2,理3)已知𝐴𝐵=(2,3),𝐴𝐶=(3,t),|𝐵𝐶|=1,则𝐴𝐵·𝐵𝐶=()A.-3B.-2C.2D.3答案解析解析关闭由𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(1,t-3),|𝐵𝐶|=12+(𝑡-3)2=1,得t=3,则𝐵𝐶=(1,0).所以𝐴𝐵·𝐵𝐶=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.答案解析关闭C-4-一、选择题二、填空题2.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案解析解析关闭∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10.①∵|a-b|=6,∴(a-b)2=6.∴|a|2+|b|2-2a·b=6.②由①-②得a·b=1,故选A.答案解析关闭A-5-一、选择题二、填空题3.(2019山东实验中学等四校高三联考,理8)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,则向量𝐴𝐷=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案解析解析关闭设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝑂=a+12b.故选C.答案解析关闭C-6-一、选择题二、填空题4.(2019全国卷1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案解析解析关闭因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎|·|𝑏|=|𝑏|22|𝑏|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.答案解析关闭B-7-一、选择题二、填空题5.(2019宁夏平罗中学高三期中,文12)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,𝐵𝐷=t𝐵𝐶(t∈R),若𝐴𝐷=a3𝐴𝐵+a5𝐴𝐶,则a3a5的最大值为()A.1B.12C.14D.18答案解析解析关闭∵𝐵𝐷=t𝐵𝐶,故B,C,D三点共线.∵𝐴𝐷=a3𝐴𝐵+a5𝐴𝐶,∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列,故a30,a50,∴1=a3+a5≥2𝑎3𝑎5,解得a3a5≤14,故选C.答案解析关闭C-8-一、选择题二、填空题6.在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,𝐵𝐸=2𝐸𝐶,点F在边CD上,若𝐴𝐵·𝐴𝐹=3,则𝐴𝐸·𝐵𝐹的值为()A.4B.833C.0D.-4答案解析解析关闭如图所示,𝐵𝐸=2𝐸𝐶⇒BE=23BC=233.∵𝐴𝐵·𝐴𝐹=3,∴|𝐴𝐹|cosα=1(α为𝐴𝐵与𝐴𝐹的夹角),∴|𝐷𝐹|=1.以A为原点建立平面直角坐标系(图略),AD为x轴,AB为y轴,则B(0,3),F(3,1),E233,3,因此𝐵𝐹=(3,-2),𝐴𝐸=233,3,故𝐴𝐸·𝐵𝐹=233×3-2×3=2-6=-4.答案解析关闭D-9-一、选择题二、填空题7.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案解析解析关闭∵e为单位向量,b2-4e·b+3=0,∴b2-4e·b+4e2=1.∴(b-2e)2=1.以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.𝑂𝐸=2e,𝑂𝐵=b,𝑂𝐴=a,α=π3.由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.由|a-b|=|𝑂𝐴−𝑂𝐵|=|𝐵𝐴|,可知|a-b|的最小值即为|𝐵𝐴|的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.又直线OA为y=3x,点E为(2,0),∴点E到直线OA的距离d=232=3.∴|𝐵𝐴|的最小值为3-1,即|a-b|的最小值为3-1.答案解析关闭A-10-一、选择题二、填空题8.(2019河北枣强中学高三一模,理7)已知△ABC中,|𝐵𝐶|=2,𝐵𝐴·𝐵𝐶=-2.点P为BC边上的动点,则𝑃𝐶·(𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶)的最小值为()A.2B.-34C.-2D.-2512答案解析解析关闭以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系.可得B(-1,0),C(1,0),设P(a,0),A(x,y),由𝐵𝐴·𝐵𝐶=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0,则𝑃𝐶·(𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,当a=16时,𝑃𝐶·(𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶)的最小值为-2512.故选D.答案解析关闭A-11-一、选择题二、填空题9.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则𝐴𝐸·𝐵𝐸的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案解析解析关闭如图所示,取AB的中点F,连接EF.𝐴𝐸·𝐵𝐸=(𝐴𝐸+𝐵𝐸)2-(𝐴𝐸-𝐵𝐸)24=(2𝐹𝐸)2-𝐴𝐵24=|𝐹𝐸|2-14.当EF⊥CD时,|𝐸𝐹|最小,即𝐴𝐸·𝐵𝐸取最小值.过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(𝐴𝐸·𝐵𝐸)min=542−14=2116.答案解析关闭A-12-一、选择题二、填空题10.(2019湖北武汉高三调研,文11)已知向量a,b满足|a|=4,b在a上的投影为-2,则|a-3b|的最小值为()A.12B.10C.10D.2答案解析解析关闭b在a上的投影为-2,即|b|cosa,b=-2.∵|b|0,∴cosa,b0.又cosa,b∈[-1,0),∴|b|min=2,|a-3b|2=a2-6a·b+9b2=|a|2-6|a||b|cosa,b+9|b|2=9|b|2+64.∴|a-3b|min=9×4+64=10.故选B.答案解析关闭B-13-一、选择题二、填空题11.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且𝐴𝑃=𝑚+211𝐴𝐵+211𝐵𝐶,则实数m的值为()A.1B.12C.911D.511答案解析解析关闭∵N为线段AC上靠近A的三等分点,∴𝐴𝑁=13𝐴𝐶.设𝐵𝑃=𝜆𝐵𝑁,𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐵+𝜆𝐵𝑁=𝐴𝐵+λ(𝐴𝑁−𝐴𝐵)=(1-λ)𝐴𝐵+𝜆𝐴𝑁=(1-λ)𝐴𝐵+𝜆3𝐴𝐶.∵𝐴𝑃=𝑚+211𝐴𝐵+211𝐵𝐶=m𝐴𝐵+211(𝐴𝐵+𝐵𝐶)=m𝐴𝐵+211𝐴𝐶,∴1-𝜆=𝑚,𝜆3=211,∴m=1-611=511.答案解析关闭D-14-一、选择题二、填空题12.(2019天津红桥区高三二模,文8)已知点M是△ABC所在平面内一点,满足𝐴𝑀=23𝐴𝐵+14𝐴𝐶,则△ABM与△BCM的面积之比为()A.38B.83C.3D.13答案解析解析关闭设点D是AB上一点,且AD=23AB,点E是AC上一点,且AE=14AC,如图所示.由𝐴𝑀=23𝐴𝐵+14𝐴𝐶,可知𝐴𝑀=𝐴𝐷+𝐴𝐸,以AD,AE为邻边作▱ADME,连接BM,CM,延长DM,交BC于F,设S△BDM=S,因为AD=23AB,所以S△BAM=3S.由▱ADME,可知DF∥AC,𝐵𝐷𝐷𝐴=𝐵𝐹𝐹𝐶=12.设AE=DM=a,MF=x,由DF∥AC,得𝐹𝐷𝐶𝐴=𝐵𝐷𝐵𝐴=13,解得x=𝑎3,所以S△BFM=13S,S△BCM=S.因此△ABM与△BCM的面积之比为3,故选C.答案解析关闭C-15-一、选择题二、填空题13.(2019山东德州高三模拟,文14)设向量a,b不平行,向量a+λb与-a+b平行,则实数λ=.14答案解析解析关闭由a,b不平行,知-a+b≠0,又a+14𝜆b与-a+b平行,故存在实数μ,使a+14𝜆b=μ(-a+b).根据平面向量基本定理得,-𝜇=1,14𝜆=𝜇,∴𝜆=-4.答案解析关闭-4-16-一、选择题二、填空题14.(2019全国卷3,理13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cosa,c=.5答案解析解析关闭∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-5a·b=2,∴cosa,c=𝑎·𝑐|𝑎|·|𝑐|=21×3=23.答案解析关闭23-17-一、选择题二、填空题15.(2019安徽高三联考,文14)在四边形ABCD中,𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=(2,4),𝐵𝐷=(-3,-5),则𝐴𝐶在𝐴𝐵上的投影为.答案解析解析关闭由𝐴𝐷=𝐵𝐶,得四边形ABCD是平行四边形,且𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=(2,4)+(-3,-5)=(-1,-1),则𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷=(2,4)+(-1,-1)=(1,3),∴𝐴𝐶在𝐴𝐵上的投影为|𝐴𝐶|cos𝐴𝐵,𝐴𝐶=𝐴𝐵·𝐴𝐶|𝐴𝐵|=1425=755.答案解析关闭755-18-一、选择题二、填空题16.(2019天津卷,文14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则𝐵𝐷·𝐴𝐸=.答案解析解析关闭∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,𝐵𝐷·𝐴𝐸=(𝐵𝐴+𝐴𝐷)·(𝐴𝐵+𝐵𝐸)=-𝐵𝐴2+𝐵𝐴·𝐵𝐸+𝐴𝐷·𝐴𝐵+𝐴𝐷·𝐵𝐸=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.答案解析关闭-1