（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题四 数列 4.2.1 等差、等比数列的综合问题课件 理

4.2数列大题-2-年份卷别设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2015全国1已知an与Sn的关系求数列通项;已知数列{bn}的通项求前n项和数列的通项及前n项和Sn=f(an)型递推消元、方程思想、裂项求和全国2没有考查2016全国1没有考查全国2求数列某三项;求数列前1000项和等差数列的通项、分段数列、数列的前n项和等差数列、分段数列等价转换全国3证明数列是等比数列,并求其通项;求参数递推数列、等比数列的定义及通项等比数列递推方法、方程思想-3-年份卷别设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2017没有考查2018全国1没有考查全国2已知等差数列的关系求通项,求前n项和及前n项和的最小值等差数列的通项、前n项和公式等差数列方程思想,函数思想全国3已知等比数列的关系式求其通项;已知前n项和求项数n等比数列的通项、前n项和公式等比数列方程思想,分类讨论思想2019全国1没有考查全国2证明等比数列、等差数列,求通项等差数列、等比数列的定义、通项等差数列、等比数列转化与化归思想,构造思想全国3没有考查-4-1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.(2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.(3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.𝑞𝑝−14.2.1等差、等比数列的综合问题-6-考向一考向二考向三考向四等差(等比)数列的判断与证明例1(2019全国卷2,理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.-7-考向一考向二考向三考向四(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12𝑛-1,an-bn=2n-1.所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12𝑛+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12𝑛-n+12.-8-考向一考向二考向三考向四解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;若=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an或𝑎𝑛+1𝑎𝑛为同一常数.𝑎𝑛2-9-考向一考向二考向三考向四对点训练1(2019重庆一中高三下学期5月月考)已知数列{an}满足:an≠1,an+1=2-1𝑎𝑛(n∈N*),数列{bn}中,bn=1𝑎𝑛-1,且b1,b2,b4成等比数列.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)若Sn是数列{bn}的前n项和,求数列1𝑆𝑛的前n项和Tn.-10-考向一考向二考向三考向四(1)证明bn+1-bn=1𝑎𝑛+1-1−1𝑎𝑛-1=12-1𝑎𝑛-1−1𝑎𝑛-1=𝑎𝑛𝑎𝑛-1−1𝑎𝑛-1=1,所以数列{bn}是公差为1的等差数列.(2)解由题意可得𝑏22=b1b4,即(b1+1)2=b1(b1+3),∴b1=1.故bn=n.所以Sn=𝑛(𝑛+1)2.所以1𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+1)=21𝑛−1𝑛+1.所以Tn=2×1-12+12−13+…+1𝑛−1𝑛+1=2×1-1𝑛+1=2𝑛𝑛+1.-11-考向一考向二考向三考向四等差数列的通项及求和例2(2019全国卷1,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a10,求使得Sn≥an的n的取值范围.-12-考向一考向二考向三考向四解(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.由a10知d0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=𝑛(𝑛-9)𝑑2.-13-考向一考向二考向三考向四解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.-14-考向一考向二考向三考向四对点训练2记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.-15-考向一考向二考向三考向四等比数列的通项及求和例3(2019全国卷2,文18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.-16-考向一考向二考向三考向四解题心得已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.-17-考向一考向二考向三考向四对点训练3(2019云南昆明高三1月复习诊断)已知数列{an}是等比数列,公比q1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7.(1)求{an}的通项公式;(2)设m∈Z,若Snm恒成立,求m的最小值.-18-考向一考向二考向三考向四解(1)由𝑎2=2,𝑆3=7,得𝑎1𝑞=2,𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=7,解得𝑎1=4,𝑞=12或𝑎1=1,𝑞=2(舍).所以an=4×12𝑛-1=12𝑛-3.(2)由(1)可知:Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=4(1-12𝑛)1-12=81-12𝑛8.因为an0,所以Sn单调递增.所以要使Snm恒成立,需m≥8.又因为m∈Z,故m的最小值为8.-19-考向一考向二考向三考向四等差、等比数列的综合问题例4(2019北京卷,文16)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.-20-考向一考向二考向三考向四解(1)设{an}的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n≥7时,an0;当n≤6时,an≤0.所以,Sn的最小值为S6=-30.-21-考向一考向二考向三考向四解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.-22-考向一考向二考向三考向四对点训练4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①由a3+b3=5,得2d+q2=6.②因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.联立①和②解得𝑑=3,𝑞=0(舍去),𝑑=1,𝑞=2.