（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题七 解析几何 7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问

7.4.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-2-考向一考向二考向三圆锥曲线中的最值问题例1(2019浙江卷,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.𝑆1𝑆2-3-考向一考向二考向三解(1)由题意得𝑝2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=𝑡2-12𝑡y+1,代入y2=4x,得y2-2(𝑡2-1)𝑡y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-2𝑡,所以B1𝑡2,-2𝑡.又由于xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2𝑡+yC=0,得C1𝑡-t2,21𝑡-t,G2𝑡4-2𝑡2+23𝑡2,0.所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).-4-考向一考向二考向三由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而𝑆1𝑆2=12|𝐹𝐺|·|𝑦𝐴|12|𝑄𝐺|·|𝑦𝐶|=2𝑡4-2𝑡2+23𝑡2-1·|2𝑡|𝑡2-1-2𝑡4-2𝑡2+23𝑡2·2𝑡-2𝑡=2𝑡4-𝑡2𝑡4-1=2-𝑡2-2𝑡4-1.令m=t2-2,则m0,𝑆1𝑆2=2-𝑚𝑚2+4𝑚+3=2-1𝑚+3𝑚+4≥2-12𝑚·3𝑚+4=1+32.当m=3时,𝑆1𝑆2取得最小值1+32,此时G(2,0).-5-考向一考向二考向三刷有所得若G为△ABC的重心,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G𝑥1+𝑥2+𝑥33,𝑦1+𝑦2+𝑦33,且𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶=0.解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形的面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.-6-考向一考向二考向三对点训练1(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12𝑥32.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.-7-考向一考向二考向三解(1)设直线AP的斜率为k,k=𝑥2-14𝑥+12=x-12,因为-12x32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程𝑘𝑥-𝑦+12𝑘+14=0,𝑥+𝑘𝑦-94𝑘-32=0,解得点Q的横坐标是xQ=-𝑘2+4𝑘+32(𝑘2+1).因为|PA|=1+𝑘2𝑥+12=1+𝑘2(k+1),|PQ|=1+𝑘2(xQ-x)=-(𝑘-1)(𝑘+1)2𝑘2+1,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12内单调递增,12,1内单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716.-8-考向一考向二考向三圆锥曲线中的范围问题例2(2019全国卷2,文20)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1-9-考向一考向二考向三解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率e=𝑐𝑎=3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当12|y|·2c=16,𝑦𝑥+𝑐·𝑦𝑥-𝑐=-1,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=𝑏4𝑐2,又由①知y2=162𝑐2,故b=4.由②③得x2=𝑎2𝑐2(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[42,+∞).-10-考向一考向二考向三解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.-11-考向一考向二考向三对点训练2(2019吉林长春北京师范大学长春附属中学第四次模拟考试)已知椭圆E:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)与y轴正半轴交于点M(0,3),离心率为12.直线l经过点P(t,0)(0ta)和点Q(0,1),且与椭圆E交于A,B两点(点A在第二象限).(1)求椭圆E的标准方程;(2)若𝐴𝑃=λ𝑃𝐵,当0t≤233时,求λ的取值范围.-12-考向一考向二考向三解(1)由题意,e=𝑐𝑎=12且b=3,所以a=2.所以椭圆E的标准方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)因为直线l经过点P(t,0)(0ta)和点Q(0,1),所以直线l的斜率为1-𝑡,设l:y=-1𝑡x+1,将其代入椭圆方程𝑥24+𝑦23=1中,消去x,得(3t2+4)y2-6t2y+3t2-12=0,当Δ0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6𝑡23𝑡2+4,①y1y2=3𝑡2-123𝑡2+4,②-13-考向一考向二考向三因为𝐴𝑃=𝜆𝑃𝐵,所以(t-x1,-y1)=λ(x2-t,y2),所以y1=-λy2,③联立①②③,消去y1,y2,整理得12𝜆(1-𝜆)2=4𝑡2+12-4.当0t≤233时,12𝜆(1-𝜆)2=4𝑡2+12-4∈[12,+∞),解得λ∈3-52,1∪1,3+52.由y1+y2=(1-λ)y2=6𝑡23𝑡2+40且y20,故λ1.所以λ∈1,3+52.-14-考向一考向二考向三例3已知点F(4,0),点Q是直线x=-4上的动点,过点Q作y轴的垂线与线段FQ的垂直平分线交于点P.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若直线l:y=x+m与曲线C交于A,B两点,点M是曲线C上一点,且点M的横坐标t∈(1,4),若MA⊥MB,求实数m的取值范围.-15-考向一考向二考向三解(1)由题意可知,|PF|=|PQ|,所以点P的轨迹方程是以点F为焦点的抛物线,其轨迹C的方程是y2=16x.(2)y=x+m与y2=16x联立得𝑦=𝑥+𝑚,𝑦2=16𝑥,即y2-16y+16m=0,因为直线l与曲线C交于A,B两点,所以162-64m0,解得m4,设A(x1,y1),B(x2,y2),M𝑦0216,y0,令t=𝑦0216,由t∈(1,4),得y0∈(-8,-4)∪(4,8),则y1+y2=16,y1y2=16m,∵MA⊥MB,∴𝑀𝐴·𝑀𝐵=0,-16-考向一考向二考向三即x1-𝑦0216x2-𝑦0216+(y1-y0)(y2-y0)=0,即𝑦1216−𝑦0216𝑦2216−𝑦0216+(y1-y0)(y2-y0)=0,即(y1-y0)(y2-y0)·(𝑦1+𝑦0)(𝑦2+𝑦0)256+1=0,因为(y1-y0)(y2-y0)≠0,所以(y1+y0)(y2+y0)=-256,即y1y2+y0(y1+y2)+𝑦02=16m+16y0+𝑦02=-256,所以m=-𝑦0216-y0-16=-116(y0+8)2-12,当y0∈(4,8)时,m∈(-28,-21),当y0∈(-8,-4)时,m∈(-13,-12),所以实数m的取值范围是(-28,-21)∪(-13,-12).-17-考向一考向二考向三解题心得在直线与圆锥曲线的综合问题中,求某个量d的范围,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的范围问题,然后用函数的方法或解不等式的方法求出d的范围.-18-考向一考向二考向三对点训练3已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA,TB的斜率之积为-34.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求𝑂𝑃·𝑂𝑄+𝑀𝑃·𝑀𝑄的取值范围.解(1)设T(x,y),则直线TA的斜率为k1=𝑦𝑥+4,直线TB的斜率为k2=𝑦𝑥-4,于是由k1k2=-34,得𝑦𝑥+4·𝑦𝑥-4=-34,整理得𝑥216+𝑦212=1.-19-考向一考向二考向三(2)当PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线PQ与椭圆方程联立𝑦=𝑘𝑥+2,𝑥216+𝑦212=1得(4k2+3)x2+16kx-32=0.所以x1+x2=-16𝑘4𝑘2+3,x1x2=-324𝑘2+3.从而𝑂𝑃·𝑂𝑄+𝑀𝑃·𝑀𝑄=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-80𝑘2-524𝑘2+3=-20+84𝑘2+3.∴-20𝑂𝑃·𝑂𝑄+𝑀𝑃·𝑀𝑄≤-523,当直线PQ斜率不存在时,𝑂𝑃·𝑂𝑄+𝑀𝑃·𝑀𝑄的值为-20.综上所述,𝑂𝑃·𝑂𝑄+𝑀𝑃·𝑀𝑄的取值范围为-20,-523.-20-考向一考向二考向三圆锥曲线中的证明问题例4(2019全国卷2,理21节选)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)略.(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②略.12-21-考向一考向二考向三证明(1)略.(2)①设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由𝑦=𝑘𝑥,𝑥24+𝑦22=1,得x=±21+2𝑘2.记u=21+2𝑘2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为𝑘2,方程为y=𝑘2(x-u).由𝑦=𝑘2(𝑥-𝑢),𝑥24+𝑦22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.(ⅰ)-22-考向一考向二考向三设G(xG,yG),则-u和xG是方程(ⅰ)的解,故xG=𝑢(3𝑘2+2)2+𝑘2,由此得yG=𝑢𝑘32+𝑘2.从而直线PG的斜率为𝑢𝑘32+𝑘2-𝑢𝑘𝑢(3𝑘2+2)2+𝑘2-𝑢=-1𝑘.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.②略.-23-考向一考向二考向三解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题,如本例中把证明k的范围问题转化为方程的零点k所在的范围问题.-24-考向一考向二考向三对点训练4(2019四川棠湖中学高三适应性考试)已知抛物线C:x2=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程;(2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.-25-考向一考向二考向三(1)解当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,令Δ=(4k)2-4×4=