（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题二 函数与导数 2.4.1 函数的单调性、极值点、极值、

2.4[压轴大题1]导数在函数中的应用-2-年份卷别设问特点涉及知识点函数模型解题思想方法2015全国1讨论零点个数、证明函数不等式求导数、单调性、零点存在定理、最值e2x-alnx分类讨论、转换思想全国2讨论单调区、知最值求参数范围求导数、单调性、最值lnx+一次函数分类讨论、转换思想、函数思想2016全国1讨论单调性、知函数零点个数求参数范围求导数、单调性、零点存在定理(x-2)ex+二次函数分类讨论全国2求切线方程、知函数不等式求参数范围求导数、单调性、二次方程求根(x+1)lnx+一次函数构造函数、分类讨论全国3讨论单调性、证明函数不等式求导数、单调性、最值lnx+一次函数求导确定单调、构造函数-3-年份卷别设问特点涉及知识点函数模型解题思想方法2017全国1讨论单调性;知f(x)≥0求参数取值范围求导数、单调性、最值ex(ex-a)-a2x分类讨论、转换思想全国2讨论单调性,求参数范围求导数、单调性、最值二次函数×ex分类讨论、构造函数、放缩法全国3讨论f(x)的单调性;证明不等式求导数、单调性、最值lnx+二次函数求导确定单调、构造函数2018全国1求单调区间;证明不等式求导数、单调性、最值由ex与lnx组成放缩法、转换思想全国2求单调区间;证明f(x)只有一个零点求导数、单调性、零点存在性定理一元三次函数构造函数,寻找函数零点全国3求曲线的切线方程;证明不等式求导数、单调性二次函数𝑒x求导确定斜率、构造函数-4-年份卷别设问特点涉及知识点函数模型解题思想方法2019全国1证明函数存在零点;知恒成立求参数范围求导确定单调性,零点存在定理;单调性定范围三角函数+x转换思想,演绎推理全国2证明函数存在极值点;证明函数有满足条件的两零点求导确定单调性,极值、最值(x-1)lnx+一次函数转换思想,演绎推理,方程思想全国3讨论单调性;求确定区间上最大值与最小值差的范围求导确定单调性,最大值与最小值,单调性定范围含参数的一元三次函数转换思想,演绎推理-5-1.导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0).(2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”:①切点在函数图象上,满足函数解析式;②切点在切线上,满足切线方程;③切点处的导数等于切线的斜率.2.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f'(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f'(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.3.函数的导数与单调性的等价关系函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.-6-4.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.5.常见恒成立不等式(1)lnx≤x-1;(2)ex≥x+1.-7-6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.-8-6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值g(x)在[c,d]上的最大值.-9-(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在[c,d]上的值域交集非空.(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]上的值域.(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]上的值域.9.求解导数应用题宏观上的解题思想是借助导函数(正负)研究原函数(单调性);重点是把导函数先“弄熟悉”;为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施:(1)通分;(2)二次求导或三次求导;(3)能画出导函数草图是最好的!2.4.1函数的单调性、极值点、极值、最值-11-考向一考向二考向三考向四求单调区间或讨论单调性(多维探究)例1(2019山东菏泽一模,文21)已知函数h(x)=lnx-ax(a∈R).(1)设f(x)=h(x)++(a+1)x,求函数f(x)的单调区间;(2)略.𝑙𝑛𝑥𝑥-12-考向一考向二考向三考向四解(1)f(x)=h(x)+ln𝑥𝑥+(a+1)x=lnx+ln𝑥𝑥+x,定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ln𝑥+𝑥+𝑥2𝑥2(x0).令F(x)=1-lnx+x+x2(x0),则F'(x)=(2𝑥-1)(𝑥+1)𝑥(x0).令F'(x)0(x0),得0x12;令F'(x)0(x0),得x12.所以函数F(x)=1-lnx+x+x2(x0)在区间0,12上单调递减,在区间12,+∞上单调递增.所以F(x)min=F12=1-ln12+12+122=74+ln20.所以F(x)=1-lnx+x+x20对任意(0,+∞)恒成立,所以f(x)=lnx+ln𝑥𝑥+x的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.-13-考向一考向二考向三考向四解题心得求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f'(x)的正负.-14-考向一考向二考向三考向四对点训练1设f(x)=lnx,g(x)=x|x|.(1)令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间;(2)略.12-15-考向一考向二考向三考向四解(1)F(x)的定义域为(0,+∞),∴F(x)=xlnx-12x2,则F'(x)=lnx+1-x,令G(x)=F'(x)=lnx+1-x,则G'(x)=1𝑥-1,由G'(x)=1𝑥-10得0x1,由G'(x)=1𝑥-10得x1,则G(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,即F'(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴F'(x)≤F'(1)=0,∴F(x)的定义域为(0,+∞)上单调递减.(2)略.-16-考向一考向二考向三考向四例2(2019山东潍坊三模,文21)已知函数f(x)=x2+alnx-2x(a∈R).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)略.-17-考向一考向二考向三考向四解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+𝑎𝑥-2=2𝑥2-2𝑥+𝑎𝑥.令2x2-2x+a=0,Δ=4-8a=4(1-2a).1°若a≥12时,Δ≤0,f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.2°若a12,Δ0,方程2x2-2x+a=0,两根为x1=1-1-2𝑎2,x2=1+1-2𝑎2.当a≤0时,x20,x∈(x2,+∞),f'(x)0,f(x)单调递增.当0a12时,x10,x20,x∈(0,x1),f'(x)0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞),f'(x)0,f(x)单调递增.综上,当a≥12时,函数f(x)单调递增区间为(0,+∞);当a≤0时,函数f(x)单调递增区间为1+1-2𝑎2,+∞);当0a12时,函数f(x)单调递增区间为(0,1-1-2𝑎2,1+1-2𝑎2,+∞).-18-考向一考向二考向三考向四解题心得在求函数f(x)的单调区间时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,本例分类的标准(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中再按导函数零点的大小比较分小类;(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.-19-考向一考向二考向三考向四对点训练2(2019全国卷3,文20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.-20-考向一考向二考向三考向四解(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=𝑎3.若a0,则当x∈(-∞,0)∪𝑎3,+∞时,f'(x)0;当x∈0,𝑎3时,f'(x)0.故f(x)在(-∞,0),𝑎3,+∞单调递增,在0,𝑎3单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a0,则当x∈-∞,𝑎3∪(0,+∞)时,f'(x)0;当x∈𝑎3,0时,f'(x)0.故f(x)在-∞,𝑎3,(0,+∞)单调递增,在𝑎3,0单调递减.-21-考向一考向二考向三考向四(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在0,𝑎3单调递减,在𝑎3,1单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f𝑎3=-𝑎327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-𝑎327+2,M=4-𝑎,0𝑎2,2,2≤𝑎3.所以M-m=2-𝑎+𝑎327,0𝑎2,𝑎327,2≤𝑎3.当0a2时,可知2-a+𝑎327单调递减,所以M-m的取值范围是827,2.当2≤a3时,𝑎327单调递增,所以M-m的取值范围是827,1.综上,M-m的取值范围是827,2.-22-考向一考向二考向三考向四讨论函数极值点的个数例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)略.-23-考向一考向二考向三考向四解(1)定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=1𝑥+1+a(2x-1)=1𝑥+1(2ax2+ax+1-a),∵1𝑥+10,令g(x)=2ax2+ax+1-a(x-1),当a=0时,g(x)=1,则f'(x)0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即当a=0时,函数无极值点;当a0时,由Δ=a(9a-8)≤0,得0a≤89,此时g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即0a≤89,函数无极值点;当Δ0