（通用版）2020版高考数学大二轮复习 第一部分 第2讲 二、数形结合思想课件 理

二、数形结合思想-2-数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.-3-以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质-4-应用一利用数形结合求与方程有关的问题例1(2019山西太原高三二模,文12)已知函数A.3B.4C.5D.6f(x)=1-𝑥2,-1≤𝑥0,𝑥2+1,0≤𝑥1且满足f(x+1)-f(x-1)=0,g(x)=𝑥𝑥-1,则方程f(x)=g(x)在[-3,5]上所有实根的和为()答案解析解析关闭由于f(x+1)-f(x-1)=0,故函数f(x)的周期为2,画出f(x)和g(x)的图象,如图所示.注意到函数f(x)和g(x)=1+1𝑥-1都关于A(1,1)中心对称,所以f(x)=g(x)在[-3,5]的4个交点的横坐标,即所有实根关于x=1对称,根据中点坐标公式可得所有实根的和为2×2=4.答案解析关闭B-5-思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.-6-对点训练1(2019湖南衡阳八中高三,文9)已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-2x|,函数g(x)=[f(x)]3-(b+1)[f(x)]2+bf(x),b∈(0,1),则函数g(x)的零点的个数是()A.10B.11C.12D.13答案解析解析关闭设t=f(x),则t3-(b+1)t2+bt=0,解得t=0或t=b或t=1,则函数g(x)的零点个数即t=f(x)的图象与直线t=0,t=b,t=1交点个数之和.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),当x0时,-x0,则f(x)=f(-x)=|(-x)2-2(-x)|=|x2+2x|,在平面直角坐标系中可得图象,如图所示:由图象可知,交点个数为13个,∴g(x)的零点个数是13,故选D.答案解析关闭D-7-应用二利用数形结合思想求参数的范围或解不等式例2已知函数若不等式f(x)≤5-mx恒成立,则实数m的取值范围是.f(x)=2𝑥,𝑥≤1,ln(𝑥-1),1𝑥≤2,答案解析解析关闭函数f(x)的图象如图所示.当m=0时,f(x)≤5,显然满足题意;当m≠0时,令y=5-mx,则直线y=5-mx过点(0,5).当直线过点(1,2)时,则2=5-m,m=3,y=5-3x在x轴上的交点为53,0,不满足不等式f(x)≤5-mx恒成立,过两点(0,5),(2,0)的直线的斜率为-52,只有当-52≤-m0时,即0m≤52时,不等式f(x)≤5-mx恒成立.综上,m的取值范围是0≤m≤52.答案解析关闭0,52-8-思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.-9-对点训练2已知函数f(x)=log2(1-𝑥)+1,-1≤𝑥𝑘,𝑥3-3𝑥+2,𝑘≤𝑥≤𝑎,若存在实数k使得函数f(x)的值域是[0,2],则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.12,3C.(0,3]D.{2}答案解析解析关闭先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤xk的大致图象,再研究f(x)=x3-3x+2,k≤x≤a的大致图象.当k≤x≤a时,令f'(x)=3x2-3=0,得x=1或x=-1.当x1时,f'(x)0;当-1x1时,f'(x)0,故当x=1时,f(x)在(-1,+∞)上取得最小值f(1)=0,又f(3)=2,所以若存在实数k使f(x)的值域是[0,2],a只需满足12a≤3.故选B.答案解析关闭B-10-应用三数形结合思想在解析几何中的应用例3(2019湖南雅礼中学二模,文11)已知F是双曲线C:x2-𝑦28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,则点P的纵坐标为()A.66B.26C.46D.-86答案解析解析关闭由双曲线C的方程可知:a2=1,b2=8,∴c2=a2+b2=1+8=9.∴c=3.∴左焦点E(-3,0),右焦点F(3,0).∵|AF|=32+(66)2=15,所以当△APF的周长最小时,|PA|+|PF|最小.由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2,∴|PF|=|PE|+2.又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15,当且仅当A,P,E三点共线时,等号成立.∴△APF的周长:|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32.此时直线AE的方程为y=26x+66,将其代入到双曲线方程得x2+9x+14=0,解得x=-7(舍)或x=-2.由x=-2得y=26,故选B.答案解析关闭B-11-思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.(1)𝑏-𝑛𝑎-𝑚表示两点(a,b),(m,n)连线的斜率;(2)(𝑎-𝑚)2+(𝑏-𝑛)2表示两点(a,b),(m,n)[或(b,a),(n,m)]之间的距离.-12-对点训练3(2019四川绵阳高三三诊,理11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M、N,在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得∠MQN=90°,则实数a的取值范围为()A.[-13,3]B.[-3,1]C.[-3,13]D.[-13,13]答案A-13-解析过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4.AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8,所以以线段AB为直径的圆D:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4,因为在圆C上存在两点M,N,在直线l上存在一点Q,使得∠MQN=90°,所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于联立𝑦=𝑥-1,𝑦2=4𝑥⇒x2-6x+1=0,2r=42,只需D(3,2)到直线l的距离小于或等于42,∴|3+2+𝑎|2≤42⇒-13≤a≤3,故选A.-14-方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:(1)解方程或解不等式;(2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;(4)构造方程或不等式求解问题.