【备战2013】高考数学-5年高考真题精选与最新模拟-专题05-三角函数-文

【备战2013】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题05三角函数文角函数【2012高考真题精选】1．（2012·湖北卷）函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．52．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋－2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.3．（2012·全国卷）已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝()A．－2425B．－1225C.1225D.24254．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C.22D．15．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域．【答案】解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.6．（2012·福建卷）函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2【答案】C【解析】解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，可以把四个选项代入验证，只有当x＝－π4时，函数f－π4＝sin－π4－π4＝－1取得最值，所以选择C.7．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．∵0απ2，∴－π6α－π6π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.8．（2012·湖南卷）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．9．（2012·湖南卷）设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠π2时，x－π2f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．810．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域．11．（2012·上海卷）函数f(x)＝sinx2－1cosx的最小正周期是________．【答案】π【解析】考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．f(x)＝sinxcosx＋2＝12sin2x＋2，由三角函数周期公式得，T＝2π2＝π.C4函数sin()yAx的图象与性质12．（2012·浙江卷）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()13．（2012·天津卷）将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是()A.13B．1C.53D．214．（2012·山东卷）函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－315．（2012·课标全国卷）已知ω0,0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.π4B.π3C.π2D.3π416．（2012·全国卷）当函数y＝sinx－3cosx(0≤x2π)取得最大值时，x＝________.17．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域．18．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．∴α－π6＝π6，故α＝π3.19．（2012·安徽卷）要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位【答案】C【解析】因为y＝cos()2x＋1＝cos2x＋12，所以只需要将函数y＝cos2x的图像向左移动12个单位即可得到函数y＝cos()2x＋1的图像．20．（2012·山东卷）设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真21．（2012·湖南卷）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．22．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝－sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，23．（2012·全国卷）若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3【答案】C【解析】本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正、余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．∵f(x)＝sinx＋φ3为偶函数，有x＝0时f(x)取得最值，即φ3＝kπ＋π2，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，由于φ∈[0,2π]，所以k＝0时，φ＝3π2符合，故选C.24．（2012·湖北卷）设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)的值域．【答案】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωx－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)，又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56，所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．C5两角和与差的正弦、余弦、正切25．（2012·重庆卷）sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32【答案】C【解析】sin47°－sin17°cos30°cos17°＝＋－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12，选C.26．（2012·课标全国卷）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.27．（2012·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】解：(1)(方法一)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA＝12.28．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝－sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)．得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kx＋7π8(k∈Z)．29．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．30．（2012·江苏卷）设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．【答案】17250【解析】本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系．由条件得sinα＋π6＝35，从而sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝2×1625－1＝725，从而sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝2425×22－725×22＝17250.31．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C.22D．1【答案】A【解析】本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．∵sinα－cosα＝2⇒(sinα－cosα)2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sin2α＝－1.故而