【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-选修4系列-文

选修4系列N1选修4-1几何证明选讲21．N1[2013·江苏卷]A．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.图1－1证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD.故AC＝2AD.N2[2013·江苏卷]B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝错误!0,2)，B＝1,0)2,6)，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a,c)b,d)，则－1,0)0,2)a,c)b,d)＝1,0)0,1)．即－a,2c)－b,2d)＝1,0)0,1)，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵为A－1＝－100,12)))．所以A－1B＝－100,12)))1,0)2,6)＝－1,0)－2,3)．N3[2013·江苏卷]C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.N4[2013·江苏卷]D．[选修4－5：不等式选讲]已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0，2a＋b0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.22．N1[2013·辽宁卷]选修4－1：几何证明选讲如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.图1－622．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF.所以EF2＝AD·BC.B．N1[2013·陕西卷](几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．图1－46[解析]利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PEPA＝PDPE，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝6.22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ]选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．图1－622．解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝32.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32.13．N1[2013·天津卷]如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．图1－213.152[解析]联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝5.由切割线定理得AE2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，由cos∠ABE＝－cos∠DAB，得－AD2＋AB2－BD22AD·AB＝AB2＋BE2－AE22AB·BE，即－52＋52－BD22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD＝152.22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ]选修4－1：几何证明选讲如图1－10，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．图1－1022．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．图1－11(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.15．N1[2013·广东卷](几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．图1－315.212[解析]AB＝3，BC＝3AC＝3＋9＝23，∵AB2＝AE·AC，∴AE＝32.又∵tan∠ACB＝ABBC＝33，∴∠ACB＝π6，故∠EAD＝π6.在△AED中，由余弦定理得ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos∠EAD＝34＋9－2×32×3cosπ6＝214，故ED＝212.N2选修4-2矩阵N3选修4-4参数与参数方程14．N3[2013·广东卷](坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．14.x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)[解析]将曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ.(θ为参数)．11．N3[2013·湖南卷]在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x＝2s＋1，y＝s(s为参数)和直线l2：x＝at，y＝2t－1(t为参数)平行，则常数a的值为________．11．4[解析]l1：x＝2s＋1，y＝s，即x－2y－1＝0，l2：x＝at，y＝2t－1，即2x－ay－a＝0.由两直线平行，得21＝－a－2≠－a－1，解得a＝4.23．N3[2013·辽宁卷]选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解x2＋（y－2）2＝4，x＋y－4＝0得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1.所以b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ]选修4－4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0α2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．C．N3[2013·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线x＝t2，y＝2t，(t为参数)的焦点坐标是________．(1，0)[解析]由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y2＝4x，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.N4选修4-5不等式选讲21．B12，N4[2013·湖北卷]设a0，b0，已知函数f(x)＝ax＋bx＋1.(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．(i)判断f(1)，fba，fba是否成等比数列，并证明fba≤fba；(ii)a，b的几何平均数记为G，称2aba＋b为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f′(x)＝a（x＋1）－（ax＋b）（x＋1）2＝a－b（x＋1）2.当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计