【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-数列-文

数列D1数列的概念与简单表示法15．D1，D5[2013·湖南卷]对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．15．217[解析](1)由特征数列的定义可知，子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a1，a7，a13，…，a97，共17项．4．D1[2013·辽宁卷]下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p44．D[解析]因为数列{an}为d0的数列，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.D2等差数列及等有效期数列前n项和19．D2，D4[2013·安徽卷]设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′π2＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋12an，求数列{bn}的前n项和Sn.19．解：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N*，f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2an＋12an＝2n＋1＋12n＋1＝2n＋12n＋2知，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·n（n＋1）2＋121－12n1－12＝n2＋3n＋1－12n.7．D2[2013·安徽卷]设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．27．A[解析]设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷]给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a10.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d10，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，…，an是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且di＋1di＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，dn－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋dBi＋di＝Ai.又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1Ai≥ai.从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1a1，所以B1a1a2…an－1.因此an＝B1.所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.因此对i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，即a1，a2，…，an－1是等差数列．17．D2、D4[2013·全国卷]等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1nan，求数列{bn}的前n项和Sn.17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为a7＝4，a19＝2a9，所以a1＋6d＝4，a1＋18d＝2（a1＋8d），解得a1＝1，d＝12.所以{an}的通项公式为an＝n＋12.(2)因为bn＝1nan＝2n（n＋1）＝2n－2n＋1，所以Sn＝21－22＋22－23＋…＋2n－2n＋1＝2nn＋1.17．D2，D3[2013·福建卷]已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围．17．解：(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a21＝1×(a1＋2)，即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5a1a9，所以5a1＋10a21＋8a1，即a21＋3a1－100，解得－5a12.17．D2，D3[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.17．解：(1)设{an}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.20．D2[2013·山东卷]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.20．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1.解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N*，当n＝1时，b1a1＝12；当n≥2时，bnan＝1－12n－1－12n－1＝12n.所以bnan＝12n，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝2n－12n，n∈N*.又Tn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12Tn＝122＋323＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1，两式相减得12Tn＝12＋222＋223＋…＋22n－2n－12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.17．D2[2013·陕西卷]设Sn表示数列{}an的前n项和．(1)若{}an是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝1－qn1－q.判断{}an是否为等比数列，并证明你的结论．17．解：(1)方法一：设{}an的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝n（a1＋an）2.方法二：设{}an的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，∴Sn＝na1＋n（n－1）2d.(2){}an是等比数列．证明如下：∵Sn＝1－qn1－q，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝1－qn＋11－q－1－qn1－q＝qn（1－q）1－q＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有an＋1an＝qnqn－1＝q.因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．16．D2，D3[2013·四川卷]在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．16．解：设该数列的公比为q，由已知，可得a1q－a1＝2，4a1q＝3a1＋a1q2，所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.所以，数列的前n项和Sn＝3n－12.17．D2、D4[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列1a2n－1a2n＋1的前n项和．17．解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）2d.由已知可得3a1＋3d＝0，5a1＋10d＝－5，解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知1a2n－1a2n＋1＝1（3－2n）（1－2n）＝1212n－3－12n－1，数列1a2n－1a2n＋1的前n项和为121－1－11＋11－13＋…＋12n－3－12n－1＝n1－2n.19．D2[2013·浙江卷]在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.19．解：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.16．D2和D3[2013·重庆卷]设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T