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计数原理J1基本计数原理5.J1[2013·福建卷]满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.105.B[解析]当a=0时,2x+b=0x=-b2,有序数对(0,b)有4个;当a≠0时,Δ=4-4ab≥0ab≤1,有序数对(-1,b)有4个,(1,b)有3个,(2,b)有2个,综上共有4+4+3+2=13个,故选B.12.J1[2013·北京卷]将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.12.96[解析]5张参观券分为4堆,有2个连号有4种分法,然后每一种全排列有A44种方法,所以不同的分法种数是4A44=96.14.J1、J2[2013·全国卷]6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种.(用数字作答)14.480[解析]先排另外四人,方法数是A44,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是A25,根据乘法原理得不同排法共有A44A25=24×20=480种.22.A1、A2,J1[2013·重庆卷]对正整数n,记In={1,2,…,n},Pn=错误!.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是..整数的平方,则称A为“稀疏集”,求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.22.解:(1)当k=4时,mkm∈I7中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为7×7-3=46.(2)先证:当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使A∪B=PnIn.不妨设1∈A,则因1+3=22,故3A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求,当k=1时,mkm∈I14=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则A1,B1为稀疏集,且A1∪B1=I14.当k=4时,集mkm∈I14中除整数外剩下的数组成集12,32,52,…,132,可分解为下面两稀疏集的并:A2=12,52,92,112,B2=32,72,132.当k=9时,集mkm∈I14中除正整数外剩下的数组成集13,23,43,53,…,133,143,可分解为下面两稀疏集的并:A3=13,43,53,103,133,B3=23,73,83,113,143.最后,集C=mkm∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.综上,所求n的最大值为14.注:对P14的分拆方法不是唯一的.J2排列、组合8.J2[2013·辽宁卷]执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=()图1-2A.511B.1011C.3655D.72558.A[解析]由程序框图可以得到S=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=11×3+13×5+15×7+17×9+19×11=121-13+15-17+17-19+19-111=511,故选A.14.J1、J2[2013·全国卷]6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种.(用数字作答)14.480[解析]先排另外四人,方法数是A44,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是A25,根据乘法原理得不同排法共有A44A25=24×20=480种.10.J2[2013·山东卷]用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.27910.B[解析](排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是:第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位),第二步,排十位数字,有9种方法,第三步,排个位数字,有8种方法,根据乘法原理,共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.可以组成所有三位数的个数:9×10×10=900,所以可以组成有重复数字的三位数的个数是:900-648=252.8.J2[2013·四川卷]从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.208.C[解析]从1,3,5,7,9中,每次取出两个不同的数作为a,b可以得到不同的差式lga-lgb共计A25=20个,但其中lg9-lg3=lg3-lg1,lg3-lg9=lg1-lg3,故不同的值只有18个.14.K2,J2[2013·新课标全国卷Ⅱ]从n个正整数1,2,3,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=________.14.8[解析]和为5的只有两种情况,1+4,2+3,故2C2n=114C2n=28n=8.14.J2[2013·浙江卷]将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).14.480[解析]先在6个位置找3个位置,有C36种情况,A,B均在C的同侧,有CAB,CBA,ABC,BAC,而剩下D,E,F有A33种情况,故共有4C36A33=480种.13.J2[2013·重庆卷]从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答)13.590[解析]从12名医生中选出5名的选法有C512=792种,其中只不选骨科医生的选法有C59-1=125种;只不选脑外科医生的选法有C58-1=55种;只不选内科医生的选法有C57=21种;同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种,故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792-(125+55+21+1)=590.J3二项式定理9.J3[2013·新课标全国卷Ⅰ]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.89.B[解析](x+2y)2m展开式的二项式系数的最大值是Cm2m,即a=Cm2m;(x+2y)2m+1展开式的二项式系数的最大值是Cm2m+1,即b=Cm2m+1,∵13a=7b,∴13Cm2m=7Cm2m+1,∴13(2m)!m!·m!=7(2m+1)!(m+1)!·m!,易得m=6.11.J3[2013·安徽卷]若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=________.11.12[解析]二项式x+a3x8展开式的通项为Tr+1=Cr8arx8-43r,令8-43r=4,可得r=3,故C38a3=7,解得a=12.15.B13,J3,M1[2013·福建卷]当x∈R,|x|1时,有如下表达式:1+x+x2+…+xn+…=11-x.两边同时积分得:∫1201dx+∫120xdx+∫120x2dx+…+∫120xndx+…=∫12011-xdx,从而得到如下等式:1×12+12×122+13×123+…+1n+1×12n+1+…=ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:C0n×12+12C1n×122+13C2n×123+…+1n+1Cnn×12n+1=__________.15.1n+132n+1-1[解析](1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn,两边同时积分得C0n∫1201dx+C1n∫120xdx+C2n∫120x2dx+…+Cnn∫120xndx=∫120(1+x)ndx,得C0n×12+12C1n×122+13C2n×123+…+1n+1Cnn×12n+1=1n+132n+1-1.5.J3[2013·江西卷]x2-2x35展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-405.C[解析]Tr+1=Cr5(x2)5-r-2x3r=Cr5(-2)rx10-5r,当r=2时,得常数项为40,故选C.7.J3[2013·辽宁卷]使3x+1xxn(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.77.B[解析]由通项Tk+1=Ckn(3x)n-k1xxk=Ckn·3n-k·xn-5k2,所以在展开式中含有常数项时,n-5k2=0,当k取最小值2时,n取最小值5.故选B.7.J3[2013·全国卷](1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.1687.D[解析](1+x)8展开式中x2的系数是C28,(1+y)4的展开式中y2的系数是C24,根据多项式乘法法则可得(1+x)8(1+y)4展开式中x2y2的系数为C28C24=28×6=168.8.B1,J3[2013·陕西卷]设函数f(x)=x-1x6,x0,-x,x≥0,则当x0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.158.A[解析]由已知表达式可得:f[f(x)]=1x-x6,展开式的通项为Tr+1=Cr61x6-r(-x)r=Cr6·(-1)r·xr-3,令r-3=0,可得r=3,所以常数项为T4=-C36=-20.11.J3[2013·四川卷]二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________.(用数字作答)11.10[解析]根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C35=10.10.J3[2013·天津卷]x-1x6的二项展开式中的常数项为________.10.15[解析]由二项式的展开式得Tk+1=Ck6x6-k-1xk=(-1)kCk6x6-32k,令6-32k=0,解之得k=4,T5=(-1)4C46=15.5.J3[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-15.D[解析]已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中,x2的系数为C25+aC15=5,则a=-1,故选D.11.J3[2013·浙江卷]设二项式x-13x5的展开式中常数项为A,则A=________.11.-10[解析]Tr+1=Cr5x5-r2(-1)rx-r3=(-1)rCr5x15-5r6,则15-5r6=0,r=3,故常数项A=T4=(-1)3C35=-10.J4单元综合23.J4[2013·江苏卷]设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(-1)k-1k,…,(-1)k-1k,k个…,即当(k-1)k2n≤错误!(k∈N*)时,an=(-1)k-1k.记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*).对于l∈N*,定义集合Pl={n|Sn是an的整数倍,n∈N*,且1≤n≤l}.(1)求集合P11中元素的个数;(2)求集合P2000中元素的个数.23.解:(1)由数列{an}的定义得a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11=5,所以S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5,从而S1=a1,S4=0×a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*).事实上,①当i=1时,Si(2
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