数学建模-投资收益和风险的模型

安徽建筑大学数学建模课程设计报告书院系数理学院专业信息与计算科学班级三班学号姓名题目投资的收益与风险指导教师欧剑一、设计目的过数学建模课程设计了解数学建模的步骤、方法，学会撰写科技论文，通提高应用数学的意识、兴趣和能力。二、设计时间20-20学年第二学期第~周三、设计地点理化楼数学建模实验室四、设计内容针对某一生产、生活实际问题，建立数学模型，通过数学模型的求解，解决这一问题。按数学建模竞赛论文格式撰写一篇完整的解决实际问题的数学建模论文。五、设计要求1．灵活应用各种数学知识解决各种实际问题。2．了解问题，明确目的。在建模前，要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。3．对问题进行简化和假设。在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当地简化和合理的假设。4．在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学工具来刻划、描述各种量之间的关系，用表格、图形、公式等来确定数学结构。5．要对模型进行分析，即用解方程、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明，得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性，必要时进行修改，调整参数，或者改换数学方法。6．用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。投资收益和风险的模型一问题的描述某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（iS）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买iS的期望收益率（ir）、交易费率(ip)、风险损失率(iq)以及同期银行存款利率0r（0r=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受ir,ip,iq影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案,使净收益尽可能大,风险尽可能小.表1投资项目iS期望收益率(%)ir风险损失率(%)iq交易费率(%)ip存银行0S3001S272.412S221.623S255.24.54S232.26.55S211.52其中0,1,2,3,4,5.i二问题假设及符号说明2.1问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素,因此所给的iS的期望收益率ir为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险,即整个资本市场整体性风险,它依赖于整个经济的运行情况,投资者无法分散这种风险,而只考虑非系统风险,即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。2.2符号说明ix：购买第i种资产的资金数额占资金总额的百分比；iMx：购买第i种资产的资金数额；0Mx：存银行的金额；()ifx：交易费用；R：净收益；Q：总体风险；i：第i种投资的净收益率。三模型的分析与建立令交易费用,0()(0,1,,5)0,0iiiiiMxpxfxix则净收益为50(1)iiiRMrxM总体风险为05maxiiiQMxq约束条件为5500()iiiifxMxM可以简化约束条件为50(1)1iiipx同时将50(1)iiiMMpx代入，得555000(1)(1)()iiiiiiiiiiRMrxMpxMrpx略去M,原问题化为双目标决策问题:50max()iiiiRxrp05minmaxiiiQxq（3.1）50(1)1s.t.00,1,,5iiiipxxi以下设0iirp，否则不对该资产投资。四模型的求解4.1固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，将模型（3.1）化为05minmaxiiiQqx，5050(),(1)s.t.(1)1,(2)00,1,,5iiiiiiiirpxRpxxi（4.1）此模型又可改写为miny0001115550011551111s.t.0,00,1,,5iiirpxrpxrpxRpxpxpxxqyxyi令()(1)iiiirpp，i表示第i种投资的净收益率，则i必大于0,否则,若10,则不对iS投资,因为对该项目投资纯收益率不如存银行,而风险损失率又大于存银行。将i从小到大排序,设k最大,则易见对模型（4.1）的可行解必有kR03.0.当03.0R时,所有资金都存银行,0Q;当kR时,所有资金用于购买iS,1kkqQp；当kR03.0时,有如下结论[7]。结论：若0.03Rk，015(,,,)xxx是模型（3.2.2）的最优解,则1155xqxq[7]。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即112255xqxqxq时，总体风险最小[8]。证：设125,,,yyy是满足112255xqxqxq的一组解，即*112255yqyqyqQ。显然此时*Q为总体风险。由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。（比如说将1y的值增加为*1y会使得**11yqQ，总体风险显然增加；反之，若减小1y的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。）因此,当(0.03,)kR时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去0x；2）将iiQxq代入解出Q；3）由iiQxq，15i，5011(1)iiixpx求出最优解。所以，我们算得如下结果:（1）0.03R时，0123451,0,0xxxxxxQ；（2）0.261.01R时，0234510,11.01,0.0241.01xxxxxxQ；（3）(0.03,0.261.01)R时，0.03,40.1721RQ10.030.9641Rx，20.030.6428Rx，30.032.0889Rx，40.030.8838Rx，50.030.6026Rx，01234511.011.021.0451.0651.02xxxxxx。事实上应用Lingo软件可算得如下结果:表1收益R最小风险度Q投资iS的资金百分比ix（0,1,2,3,4,5.i）0x1x2x3x4x5x0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/1.010.02380.00000.99010.00000.00000.00000.000000.050.10.150.20.250.300.0050.010.0150.020.0250.03收益R最小风险度Q最小风险度Q随收益R的变化趋势图4.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，将模型（3.2.1）化为50max()iiiiRrpx，50,s.t.(1)1,0,(0,1,,5.)iiiiiixqQpxxi（3.2.3）对于每一个Q，用模型（3.2.3）都能求出R,由净收益率()(1)iiiirpp,直观上想到i越大,ix应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。结论[7]：设015(,,,)xxx是模型（3.2.3）的最优解,若ij,0jx，则iixQq。证明：反证法。假设ij，0jx，而iixQq。选取充分小的正数，使得()iixqQ，(1)(1)ijjpxp。令*iixx，*(1)(1)jjijxxpp，当,kij时，令*kkxx，则*0kx，且5**0,(1)(1)()(1)[(1)(1)](1)1kkkkiijijjkkijxpxpxpxppp，55**0,0()()()()[(1)(1)]()()kkkkkkiiijijjjkkkkkijkxrpxrpxrpxpprpxrp。则***015(,,,)xxx才是最优解，因此015(,,,)xxx不是模型（3.2.3）的最优解。此处矛盾，则结论成立，证毕。由此结论,我们可将i从大到小排序,使i最大的k应尽量满足kkxqQ,若还有多余资金,再投资i次大的,。对于不同的Q,会有不同的投资方案,我们可以算出Q的临界值,从而确定各项目的投资值。因此，设123450,则可用下面的方法算出各临界值1c，2c，3c，4c，5c。只有一种投资时,111111(1),(1)0.023762cpqcqp。当有两种投资时,将121222,xcqxcq，代入1122(1)(1)1xpxp，得2121221[(1)(1)]0.009449cqqpqpq。同理可得：3123123213312[(1)(1)(1)]0.007941cqqqpqqpqqpqq，412341234213431244123[(1)(1)(1)(1)]0.005736cqqqqpqqqpqqqpqqqpqqq51234512345213453124541235[(1)(1)(1)(1)cqqqqqpqqqqpqqqqpqqqqpqqqq51234