一起早培交流群数学模拟题(四)教师版

一起早培交流群数学分享（四）1、如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有_________个“吉利数”．【答案】56【解析】我们先计算1至200中能被8整除的数的个数：考虑8的倍数，881最小，200825最大，所以一共有25个能被8整除的数．再考虑1至200中含有8的数的个数：用排除法，从0到199当中，我们看成在这样的三个框里面填数其中第一个框只能填0，1，后两个框可以填0~9，其中，如果百位的框填0，那就是两位数，百位十位的框都是0，那就是一位数，这样我们就不需要考虑首位是否为0了．不含8的数，首位可以填0或1，十位个位都不能填8，有299162个．显然，0和200都不含有8，所以1到200当中含8的数有20016238个．最后计算含有8且能被8所整除的数：1、个位是8且能被8整除的数．有8，48，88，128，168，共5个．2、十位是8且能被8整除的数．有80，88和184．去掉重复的88，一共有7个含有8且能被8所整除的数．根据容斥原理，总共的吉利数有2538756个．2、（2013年金帆五春）如图所示的图形中三角形的个数是__________．【答案】24【解析】分类计数．图中共有9部分，由1个部分组成的三角形有8个，2个部分组成的三角形有6个，3个部分组成的三角形有7个（其中包含正中五边形的有5个，不含的有2个），4个部分组成的三角形有0个，5个部分组成的三角形有3个，共8670324个．3、（2011年金帆五升六）有n个非零自然数，它们的平均数为21，如果去掉其中最小的一个自然数，那么它们的平均数是23；如果去掉其中最大的一个自然数，那么它们的平均数是19，当n最大时，这列数中最大的自然数是______________．【答案】41【解析】由于去掉最小数，平均数大了2，去掉最大数，平均数小了2，所以最大数与最小数的平均数应该是21．那么n取最大时，最大的自然数就应该是212141．4、1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有_________人．【答案】43【解析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式．比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉．2441936，2452025，所以从1去到44就够了．易知1可以保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数即可．下面证明至少要去掉43个数．构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，易知这43组数全不相同、结果全不相同且都小于1998，所以每组至少去掉1个数，即至少去掉43个数．综上，选为仪仗队的运动员最少有43人，如2至44号．5、（金帆五年级春季）六个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场．如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．现在比赛已进行了四轮(每队都已与4个队比赛过)，各队4场得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队最少得7分，并且有4场球赛踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得__________分，最少可得_________分．【答案】3，1【解析】共赛了46212(场)，其中平了4场，分出胜负的8场，共得382432(分)．因为前三位的队至少共得78924分，所以后三位的队至多共得32248(分)．又因为第四位的队比第五位的队得分多，所以第五位的队至多得3分．因为第六位的队可能得0分，所以第五位的队至少得1分(此时这两队之间必然没有赛过)．6、如果222n个2是1998的倍数，那么n最小是多少？【答案】27【解析】很明显，2222n个一定是偶数，如果它是1998的倍数，则1111n个就是999的倍数．这样一来，我们就把问题转化为寻找最小的n，使得1111n个是999的倍数．注意到9991119，而当n是3的倍数时1111n个能被111整除，因此我们只需找最小的n，让1111n个除以111的商是9的倍数即可．要让1111n个能被111整除，则n一定是3的倍数．而1131111111001001001nn个个，它的数字和是3n．要让它是9的倍数，必须让3n也是9的倍数，即n要是27的倍数．在27的倍数中最小的就是27，因此本题中最小可能的n就是27．7、用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194，求剩下的那个数是多少．【答案】358【解析】这这个数是abc，则3194222()abcabc，因为abc的范围是100～999，所以3194abc的范围是3294～4193，而222153330，222194218，所以可以判断出abc的范围就是15～18；当15abc时，得出136abc，不满足15abc；当16abc时，得出358abc，35816，满足条件；当17abc时，得出580abc，不满足17abc；当18abc时，得出802abc，不满足18abc；综上可得：只有当3,5,8abc的时候才满足条件，所以题目答案就应该是358．8、各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？【答案】575【解析】设0abcdefa为99的倍数，且满足各位至多为5．两位截断求和应为99的倍数，即99abcdef．由于553992abcdef，故99abcdef，进而9acebdf．9540531522441432333，故b、d、f有63321125种可能，a、c、e有25223种可能．因此，共有2325575个．9、如图，正方形ABCD的面积为1，2BFFC，求阴影四边形FHJG的面积．【答案】340【解析】DGFDHJFGJHSSS△△阴影，下面分别求DGFS△和DHJS△．由于2BFFC，可知23BFBC，22113323DBFDBCSS△△．由于:3:2ADBF，故:3:2DGBG，35DGDB，33115535DGFDBFSS△△；由于:3:1ADFC，故:3:1DHFH，34DHDF，而12DJDB，故311428DHGDBFSS△△．因此1135840DGFDHJFGJHSSS△△阴影．10、五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，参加英语竞赛的有20人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？【答案】15人【解析】参加三个竞赛的总人次是28222070；由于每人最多参加两科，因此至少有70235人参加了竞赛；未参加竞赛的人数最多是503515人．ABCDFGJH