（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第七章 数列 第3节 数列通项课件

第七章数列第3节数列通项知识梳理常用的求通项公式方法:1.公式法:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差或等比数列的通项公式求解;2.知Sn求an:利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2);3.累加、累乘法:(1)如果数列满足an+1-an=f(n)的形式,用累加法;(2)如果数列满足=g(n)的形式,用累乘法;4.构造法:形如an+1=kan+m的形式;当k,m为常数时,一般通过(an+1+xm)=k(an+xm)的方法构造新数列.1nnaa精选例题方法1:知Sn求an[利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)]【例1】(公式法)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.11111*()2,2,1,2111,2,{}2().nnnnnnnnnnaSSnaaaanN当时当时满足数列的通项公式为【解析】　41211211()(1),log1,,22221{}1,,2(1)3.242nnnnnnnnbabbbdnnnnTnnbd由得则数列是首项为公差的等差数列方法2:累加、累乘法【例2】(1)(累加法)数列{an}中,a1=3,=an+n,求数列{an}的通项公式;1112132431213243541111,3.,,1,2,3,,1.?1,12341(1)(11)12341()()()()()()(),2nnnnnnnnnnaaanaanaaaaaaaannaaaaaaaaaannnaan【解析】　由已知当时因为所以所以将上面个式子两边同时相加得整理得21(1)(11)(1)63.222nnnnnnnaa所以(2)(累乘法)已知数列{bn}满足b1=1,nbn+1=(n+1)bn(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.1113241231324123111121,1.1,234:,,,,,1231234,:,1231,.())1(nnnnnnnnnnbnnbnbnbbnbbbbnbbbbnbbbbnbbbbnbnbbnnb由已知当时由得所以将上面式子两边分别相乘得到整理得所以方法3:构造法[形如an+1=kan+m的形式]【例3】已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.111111111111121,2,22,222,2,()()()21,1,21:121,1,1,12,2,(),(2)()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaababababbb【解析】　由设整理得所以当与相同时得到所以可以变为设则所以等比数列公比为所以111·22?22,12,21.nnnnnnnnbaa所以即专题训练1.(公式法)(2014福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.1254141311131,3,81,8181,27,(){ ,3.33}nnnaqaqaaaqaaqqaqaq【解析】　设的公比为则由得两式相除得所以所以133(2loglog31,(1)01231(2).)nnnnbannnSn所以2.(2016新课标Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.23(11.4)1,2aa【解析】　由题意得211111()()()(){}22120211.1,.2111,,.2}2{nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa由得因为的各项都为正数所以故是首项为公比为的等比数列因此(1)(1)(1)222111123132412311231324123112311(1)1,22,2,2,2,,2,2222,22.22.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa【解析】　由得所以所以整理得所以3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2n·an,求数列{an}的通项公式.11111111()()()()()()·11,2,11,111,111,:1()()[11,:2,()()]()[()()]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSnnSnannnSnannSSnanannnnananannnananannnnananaa【解析】　由得①所以当时②①②得即所以整理得即112111221*1112,22.1,22,4,422,N2,()2,2.:12212.{}()()nnnnnnaannaSaSaaanaaadaaandnn即又时而对都有成立是公差首项的等差数列所以4.(2013深圳六校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,n·an+1=Sn+n(n+1),n∈N*.求数列{an}的通项公式.5.已知数列{an}中,a1=3,满足an+1=2an-2,求数列{an}的通项公式.111111111111122,2,22,222,2,22,2,22:222,2,2,21,2,2,()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaababababb【解析】　设整理得所以当与相同时得到所以可以变为设则所以等比数列公比为所以111111·2122,22,22.nnnnnnnnbbaa所以即6.(2014湛江)已知数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N*),数列{bn}是各项均为正数的等比数列,b3=4,b5=16.求数列{an}和{bn}的通项公式.2211123111114512,121,1,1,,21.41,2.21(6)nnnnnnnnnaSSnnnnaSaanbbqbbbqqbbq【解析】　当时当时符合将整理得到所以7.(2015浙江温州二模)已知数列{an}满足a1=1,且an+1=2an+3(n∈N*).(1)设bn=an+3(n∈N*),求证:{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.1111:323,3,2,4()(,4,2.){}nnnnnnnaababbbb【解析】　证明由已知得设则又则是以为首项为公比的等比数列11112312341221422,32,23,232323222234(12)323()()()())().12(4nnnnnnnnnnnnbaaSnnn由得即所以8.(2019北京,文)设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．23242()(8)(10)(6)(1028)(1010)(1036)2102(-1)12-12naaaddddann【解析】　根据三者成等比数列，可知，故，解得，故.2(10212)(21)()-1125.55630.nnnnSnnnnS由知，,该二次函数开口向上，对称轴为，故或时，取最小值　9.(2016新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;12111113,1,,,(){}32,()231,31.nnnnnnnabbabbnbaanan【解析】　因为是公差为的等差数列即139.(2016新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(2)求{bn}的前n项和.1211111111211,,,3131,3,,311,,311313.1()()()22313{}{}nnnnnnnnnnnnnnnnbbabbnbbnbbnbbbbbbnS由和题目条件即所以是首项为公比为的等比数列故的前项和为13111111111111111.1{}11nnnnnnnnnnnnnabaaaabaaabbbab证【解析】明：因，且，故，故又因，故数列是以为首项，为公差　的等差数列．10.(2019广东七校联合测试)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*)，且bn=(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；1nnaa1na121{}11111.,1(1)111111111(1)()()()1.22334111nnnnnnnnbbnbaaabnnnnnnnTnnnn由知数列的通项公式为，又，所以故所以10.(2019广东七校联合测试)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*)，且bn=(n∈N*)．(2)设数列{}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．1nnaa1na1nan1111111111*()()()11,22,22,2.2,222222,2,{}2,2.22()2N.nnnnnnnnnnnnnnSaaaanaSSaaaaaaaan【解析】　当时即解得当时即所以数列是首项为公比为的等比数列所以11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.123112222222,4(12)2222212242(.)nnnnnnnnSaTSSSnnn因为所以12.(2017新课标Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;121211()()()()13212,2,32321,2:212,:,212:1,2.21),(,nnnnnaanannaanannaannaan【解析】　由①当时②①②得到解得经检验时满足上式所以12.(2017新课标Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(2)求数列的前n项和.312211()21(21)(21)21211111135721335212112211212,1.nnnannnnnaaaannnnTnn所以{}21nan13.(公式法)(2017新课标Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;1222331(){}{}1,,11,.23.526.31,.