（全国通用）2020高考数学 艺考生文化课 第一章 专题七 函数与导数课件

专题七函数与导数【考试内容】函数及其表示;函数的图象;函数的性质;指数函数;对数函数;幂函数;函数的零点;导数的应用【近6年新课标卷考点统计】年份试卷类型201420152016201720182019新课标Ⅰ卷151515151515新课标Ⅱ卷102010101510新课标Ⅲ卷10151515重要考点回顾一、函数的基本性质1.函数的单调性:(1)f(x)在区间M上是增函数⇔∀x1,x2∈M,当x1x2时,有f(x1)f(x2);(2)f(x)在区间M上是减函数⇔∀x1,x2∈M,当x1x2时,有f(x1)f(x2).(记忆方法:不等号相同为增,不同为减,即同增异减)2.函数的奇偶性:(1)奇函数、偶函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)是奇函数.(2)奇、偶函数的性质:①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.②奇函数f(x)的定义域中若含有0,则必有f(0)=0.(3)常见的奇函数与偶函数:①常见的奇函数:正比例函数:f(x)=kx(x∈R);反比例函数:f(x)=(x∈(-∞,0)∪(0,+∞));正弦函数:f(x)=sinx(x∈R);正切函数:f(x)=tanx幂函数:f(x)=xn(x∈R)当n为奇数时f(x)=xn为奇函数.几种特殊的奇函数:{R|,Z};2xxkk111();();()|1||1|1212xxxafxfxfxxxa②常见的偶函数:余弦函数:f(x)=cosx(x∈R);幂函数:f(x)=xn(x∈R)当n为偶数时f(x)=xn为偶函数.几种特殊的偶函数:f(x)=c(c为常数);f(x)=|x|;f(x)=;f(x)=|x+1|+|x-1|.21x③在定义域符合要求的前提下:奇函数与奇函数的和是奇函数;偶函数与偶函数的和是偶函数;奇函数与奇函数的积是偶函数;偶函数与偶函数的积是偶函数;奇函数与偶函数的积是奇函数;奇函数与偶函数的和是非奇非偶函数;如:f(x)=ax3+bx,f(x)=ax+是奇函数;f(x)=ax2+c,f(x)=ax4+bx2+c,f(x)=·x是偶函数;f(x)=x2-x+1是非奇非偶函数.11xxaabx3.函数的周期性:(1)定义:对定义域内的任意x,若有f(x+T)=f(x)(其中T为非零常数),则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期.所有正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特别说明,文中所指的周期都指最小正周期.(2)三角函数的最小正周期:①y=sinx:T=2π;②y=cosx:T=2π;③y=tanx:T=π;④y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ):T=;⑤y=tanωx:T=2||||4.函数定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及的依据为:①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于0且不等于1;④零指数幂的底数不等于0;⑤实际问题要考虑实际意义.二、基本初等函数指数、对数的运算性质:(1)幂的运算性质:aman=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm;a0=1(a≠0);(2)对数的概念:一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:logaN其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.以10为底的对数叫做常用对数;记作:lg.以e为底的对数叫做自然对数;记作:ln.1(0)mnnmaaa(3)对数的简单性质:①负数和零没有对数;②底的对数是1,即logaa=1;③1的对数是零,即loga1=0.(4)对数的运算法则:如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②loga()=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R);④logab=(a0,且a≠1,c0,且c≠1,b0)(对数换底公式);⑤对数恒等式:MNloglogccbalog.aNaN(5)幂函数:一般地,函数y=xa叫做幂函数.其中x是自变量,a是常数.要求:掌握a=1,2,3,,-1时的函数图象.12y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增(-∞,0)减(0,+∞)增增增(-∞,0)减(0,+∞)减公共点(1,1)12yx图象:(6)指数函数:y=ax(a0,a≠1)图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a1和0a1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图.(7)对数函数:y=logax(a0,a≠1)图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a1和0a1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图.名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a0,a≠1)y=logax(a0,a≠1)定义域R(0,+∞)值域(0,+∞)R单调性a1单调递增a1单调递增0a1单调递减0a1单调递减特殊点(0,1)(1,0)图象(8)注意的几个问题:①y=ax与y=logax的图象关系是关于直线y=x对称;这两个函数互为反函数.②比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与1或0比较.三、导数1.意义:函数f(x)在点P处的导数就是函数f(x)的图象在点P处的切线的斜率.即:k=f'(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率.2.几种常见的函数导数:①C'=0(C为常数)⑤(lnx)'=②(xn)'=nxn-1(n∈R)⑥(logax)'=③(sinx)'=cosx⑦(ex)'=ex④(cosx)'=-sinx⑧(ax)'=axlna1x1lnxa3.求导数的四则运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);2'()()()()'()]()'([)fxgfxgxfxgxgxx4.导数的应用:(1)求切线的斜率,以及求切线方程.(2)利用导数判断函数的单调性:若f'(x)0,x∈(a,b)则f(x)在(a,b)上为增函数;若f'(x)0,x∈(a,b)则f(x)在(a,b)上为减函数.(3)单调区间的求解过程,已知y=f(x)①分析y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x);③解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为增区间;④解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.(4)求极值、求最值.①求函数y=f(x)的极值的方法:先解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:(Ⅰ)如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值;(Ⅱ)如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值.②求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(Ⅰ)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(Ⅱ)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注意:(1)若当x=x0时函数f(x)有极值,必有f'(x0)=0.但反之不成立;(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.四、函数的零点及二分法1.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.即:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有:f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.3.二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.4.二分法的步骤:(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度ε;(2)求区间的中点x1;(3)计算f(x1):①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;②若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若f(a)f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即|a-b|ε,则得到零点的近似值a或b;否则重复步骤(2)、(3)、(4).1.函数的定义域是()考点训练B101,1,B.3103xxx【解析】　由题意得解不等式组得故选23()lg(31)1xfxxx11111A.(,)B.(,1)C.(,)D.(,)333332.已知函数,且f(a)=-3,则f(6-a)=()122()()()(A1,223,,1,log13,7,,)(77,6122,A4).aafaafaaaafaf　【解析】　由题当显然不成立当解得满足条件故当故选1222,1()log(1),1xxfxxx7531A.B.C.D.44443.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.4.的定义域为()A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]()()()()()32313,?,113).(yfxxffyfxff　【解析】　的图象关于直线对称为奇函数21()4ln(1)fxxx210Bln(1)0,401002,B.xxxxx【解析】　由题意得解不等式组得或故选5.设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B是函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=()A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]D10,1,1{|}{|}{,12,}12.|,DxxBxxAxxABxx　【解析】　由题意得解得则集合而集合于是故选6.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)maxDln1,,11 1,'0,1,,11()()((,1,D.))fxkxxxfxkxkxxxkx　【解析】　由函数在区间单调递增则当时即当恒成立得到当故选7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是()A.y=x+1B.y=-x2C.y=D.y=x|x|DA,;B,;C,;D,D.　【解析】　选项是增函数却不是奇函数故错选项是偶函数故错选项是反比例函数在第一象限和第三象限分别是单调递减的选项既是奇函数又是增函数故选1x8.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()()()A0,A.ln2()(;BC;1D.0,1,1,.A.)yxyxx　【解析】　在区间上为增函数的是选项和选项是减函数而选项在上是减函数在上是增函数故选11A.ln(2)B.1C.()D.2xyxyxyyxx9.下列函数为偶函数的是()A.y=sinxB.y=x3C.y=exD.2D:R,ln1,D.yx