（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理

§4.6正弦定理和余弦定理ZUIXINKAOGANG最新考纲通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE定理正弦定理余弦定理内容(2)a2＝；b2＝；c2＝_________________(1)asinA＝＝＝2R1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC知识梳理ZHISHISHULIbsinBcsinC变形(3)a＝2RsinA，b＝，c＝；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(5)a∶b∶c＝；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝；cosB＝；cosC＝__________2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).3.三角形常用面积公式12acsinB12bcsinA1.在△ABC中，∠A∠B是否可推出sinAsinB?提示在△ABC中，由∠A∠B可推出sinAsinB.2.如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子.提示acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.【概念方法微思考】(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()(3)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形.()××√√基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为.123456等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.解析∵23sin60°＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×23＝23.3.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为.123456323题组三易错自纠4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，又sinA0，∴cosB0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.√1234565.(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.123456√解析由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.6.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.1234562π3又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一利用正弦、余弦定理解三角形师生共研例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；解在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.解在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为ac，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.思维升华解析因为sin2B－sin2C－sin2A＝3sinAsinC，3又0°B180°，则B＝150°.跟踪训练1(1)(2018·天津河西区模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，则B的大小为A.30°B.60°C.120°D.150°√所以b2－c2－a2＝3ac，即a2＋c2－b2＝－3ac，则cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∴AD＝a，BD＝2a3，BC＝4a3.在△ABD中，cos∠ADB＝a2＋4a23－a22a×2a3＝33，∴sin∠ADB＝63，∴sin∠BDC＝63.在△BDC中，BDsinC＝BCsin∠BDC，∴sinC＝BD·sin∠BDCBC＝66.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为.解析设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，66题型二和三角形面积有关的问题例2(2018·济南模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1)证明：tanB＝－3tanA；师生共研证明根据正弦定理，由已知得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，展开得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，所以tanB＝－3tanA.(2)若b2＋c2＝a2＋3bc，且△ABC的面积为3，求a.解由已知得b2＋c2－a2＝3bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，由0Aπ，得A＝π6，tanA＝33，∴tanB＝－3，由0Bπ，得B＝2π3，所以C＝π6，a＝c，由S＝12acsin2π3＝12×32a2＝3，得a＝2.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.思维升华(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.跟踪训练2(1)(2018·承德质检)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为A.22B.32C.23D.32√∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是_______.∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②332解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.题型三正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形√多维探究即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定√解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，1.本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状.解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角.∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.引申探究2.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状.又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，∴C＝π3，sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝2×327＝217.命题点2求解几何计算问题例4(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；解因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝7，∠DAB＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcosπ3，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.解因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝217，所以sin∠DBC＝277，所以BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以CD＝7×27732＝433.(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形跟踪训练3(1)(2018·安徽六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为√解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形.(2)(2018·洛阳统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝25，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝.43课时作业PARTTHREE1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于A.1B.2C.4D.6解析∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝