（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理课件

第十章计数原理§10.3二项式定理ZUIXINKAOGANG最新考纲能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.二项式定理知识梳理ZHISHISHULI二项式定理(a＋b)n＝_____________________________________(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝，它表示第_____项二项式系数二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2，…，n})C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋CnnbnCknan－kbkk＋1Ckn2.二项式系数的性质(1)C0n＝__，Cnn＝__.Cmn＋1＝__________.(2)Cmn＝_______.(3)当n是偶数时，____项的二项式系数最大；当n是奇数时，____与_____项的二项式系数相等且最大.12nT12nT112nT(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___.11Cm－1n＋CmnCn－mn2n1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.【概念方法微思考】(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为.()(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.()××基础自测JICHUZICE1234567×Cknan－kbkCknan－kbk×√题组二教材改编12345672.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于A.80B.40C.20D.10√解析Tk＋1＝Ck5(2x)k＝Ck52kxk，当k＝2时，x2的系数为C25·22＝40.12345673.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.120x＋1xn√解析二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ck6·x6－k·1xk＝Ck6x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.4.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为A.9B.8C.7D.6解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.1234567√A.CmnB.Cm＋1nC.Cm－1nD.(－1)m－1Cm－1n题组三易错自纠5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是1234567√解析(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为Tm＝Cm－1n(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为Cm－1n(－1)m－1.12345676.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是A.5B.6C.7D.8√解析由二项式定理知，an＝Cn－110(n＝1,2,3，…，11).又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C510，则k的最大值为6.12345677.(2018·海淀模拟)在x＋2x5的二项展开式中，x3的系数为____.10解析因为其通项为Tk＋1＝Ck5x5－k·2xk＝2k·Ck5·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，所以x3的系数为21×C15＝10.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为A.15B.20C.30D.35多维探究1＋1x2√解析因为(1＋x)6的通项为Ck6xk，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为_____.160x6解析因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck5(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCk5x10－2k，令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·C25x6＝160x6.命题点2求参数例2(1)(2018·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于x＋1x10A.13B.12C.1D.2√解析由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝Ck10x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.A.±2B.12C.－2D.±12(2)若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为√解析x2＋1ax6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·1axk＝Ck61akx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C46·1a4＝1516，即1a4＝116，解得a＝±2，故选A.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.思维升华跟踪训练1(1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为A.－80B.－40C.40D.80√解析因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)12解析通项为Tk＋1＝Ck10x10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7项的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝___.师生共研3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.1或－3(3)若的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为____.当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.又当x＝0时，a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a8＝255.x2－1xn255解析x2－1xn展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·－1xk＝Ckn(－1)kx2n－3k，(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.思维升华f1＋f－12f1－f－12解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②跟踪训练2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.解(①－②)÷2，(2)a1＋a3＋a5＋a7；得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.解(①＋②)÷2，(3)a0＋a2＋a4＋a6；得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.解方法一∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.题型三二项式定理的应用师生共研例4(1)设a∈Z且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a等于A.0B.1C.11D.12√解析512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011能被13整除且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.A.iB.－IC.－1＋iD.－1－i(2)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12017x＋C22017x2＋C32017x3＋…＋C20172017x2017等于√解析x＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，C12017x＋C22017x2＋C32017x3＋…＋C20172017x2017＝(1＋x)2017－1＝i2017－1＝i－1.(1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论