弧长公式教案

宝坻区中小学课堂教学教案授课教师：授课时间：课题24.4弧长和扇形面积(第1课时)课时教学目标1.了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．2.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=2180nR和扇形面积S扇=2360nR的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．3.培养学生的良好的学习习惯教学重点n°的圆心角所对的弧长L=180nR，扇形面积S扇=2360nR及其它们的应用．教学难点两个公式的应用．教学方法多媒体课件教学手段启发式、谈话法课型新课教学环节教学内容教师活动学生活动一、复习引入二、探索新知（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是_______．3．2°的圆心角所对的弧长是_______．4．4°的圆心角所对的弧长是_______．……5．n°的圆心角所对的弧长是_______．老师点评：（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）弧长就是圆的一部分．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n°的圆心角所对的弧长为360nR例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的分析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm，n=110∴AB的长=180nR=11040180≈76.8（mm）因此，管道的展直长度约为76.8mm．老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:老师检察学生练习情况并点评1．3602．S扇形=1360R23．S扇形=2360R24．S扇形=25360R5．S扇形=2360nR因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形S扇形=2360nR（学生分组讨论独立完成40mm三、巩固练习四、应用拓展圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）课本P122练习．例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：AB的长=60180×10=103≈10.5S扇形=60360×102=1006≈52.3因此，AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）120°；70°（3）360n；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定五、归纳小结(a)(b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．本节课应掌握：1．n°的圆心角所对的弧长L=180nR2．扇形的概念．3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=2360nR4．运用以上内容，解决具体问题．值，这个定值是Sn．教师点评学生归纳板书设计教学反思DECBAO