随机过程试题及答案

1．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为。2．设随机过程X(t)=Acos(t+),-t其中为正常数，A和是相互独立的随机变量，且A和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。4．设nW,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则nW服从分布。5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(，则这个随机过程的状态空间。6．设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p)，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p)，二者之间的关系为。7．设nX,n0为马氏链，状态空间I，初始概率i0pP(X=i)，绝对概率jnp(n)PXj，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为。8．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt则{(5)6|(3)4}______PXX9．更新方程0tKtHtKtsdFs解的一般形式为。10．记,0nEXatMMt对一切，当时，t+a。得分评卷人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。2.设{X(t),t0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。3.设nX,n0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1nl和i,jI，n步转移概率(n)()(n-)ijikkjkIpppll，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。4.设N(t),t0是强度为的泊松过程，kY,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0独立，令N(t)kk=1X(t)=Y,t0，证明：若21E(Y)，则1EX(t)tEY。得分评卷人三、计算题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为3/23/103/203/103/23/1P，求其平稳分布。2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。4.设有四个状态I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵110022110022P=111144440001（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类；（３）对状态空间I进行分解。得分评卷人四、简答题（本题6分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。一．填空题1．为it(e-1)e。2．1(sin(t+1)-sint)2。3．14．5．212t,t,;e,e33。6．(n)nPP。7．(n)jiijiIp(n)pp。8．618e9。0tKtHtKtsdMs10.a二．证明题1.证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)P(AB)P(A)=右边2.证明：当12n0tttt时，1122nnP(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=nn1122nnP(X(t)-X(t)x-xX(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)=nnP(X(t)-X(t)x-x)，又因为nnP(X(t)xX(t)=x)=nnnnP(X(t)-X(t)x-xX(t)=x)=nnP(X(t)-X(t)x-x)，故1122nnP(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=nnP(X(t)xX(t)=x)3.证明：(n)ijkIPPX(n)=jX(0)=iPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i=kIPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i=kIPX(l)=kX(0)=iPX(n)=jX(l)=k,X(0)=i=(l)(n-l)ikkjPP，其意义为n步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.证明：由条件期望的性质EX(t)EEX(t)N(t)，而N(t)ii=1EX(t)N(t)nEYN(t)n=nii=1EYN(t)n=nii=1EY=1nE(Y)，所以1EX(t)tEY。三．计算题（每题10分，共50分）1.解：解方程组P和1i，即1323231323131321323312211解得74,72,71321，故平稳分布为)74,72,71(2.解：设N(t),t0是顾客到达数的泊松过程，2，故k-4(4)PN(2)=kek!，则-4-4-4-4-43271PN(2)3PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3e4e8eee333.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00011011pp0.70.3P=pp0.40.6，于是(2)0.610.39PPP=0.520.48，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251PPP0.56680.4332，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P0.5749。4.解：（1）图略；（2）33303132p1,ppp而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记1C=3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记2C=01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12CC，中的状态，而12CC，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=2。（3）状态空间I可分解为：12E=DCC四.简答题（6分）答：（略）