（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 第13讲 二次

第13讲二次函数的应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点考点二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;(4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适答案.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点2.二次函数应用问题的常见类型(1)最值型①列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;②配方或用公式法求顶点;③如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得最大值(或最小值);如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,顶点在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,则当,如果顶点不在此范围内,则需根据二次函数增减性确定最值.x=-𝑏2𝑎时,y最值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点(2)现实生活中的抛物线型①弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;②利用待定系数法求出二次函数关系式;③将题目中提出的实际问题转化为函数问题;④利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.(3)几何图形面积型①找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;②找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;③确定自变量的取值范围;④利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1二次函数与增长率1.(2014·安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2.解析∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a·(1+x).∴三月份的研发资金为y=a·(1+x)·(1+x)=a(1+x)2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2几何图形面积与二次函数2.(2015·安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解(1)设AE=am,由题意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,所以BE=12a,AB=32a.3分由题意,得2x+3a+2×12a=80,所以a=20-12x,y=AB·BC=32a·x=3220-12𝑥x,即y=-34x2+30x,其中0x40.8分(2)y=-34x2+30x=-34(x-20)2+300,由于-340,抛物线开口向下,又0x40,所以当x=20时,y取最大值,最大值为300.12分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3利润与资源的最优化3.(2018·安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=19(50-x)=-19x+950.(2)W总=W1+W2=-2x2+41x+8950(0x≤50,且x为整数),∵-20,开口向下,-412×(-2)=414,∴当0x414时,y随x的增大而增大;当414x≤50时,y随x的增大而减小.∵x取整数,故当x=10时,W总最大,W总的最大值为-2×102+41×10+8950=9160.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4现实生活的抛物线4.(2012·安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解(1)把x=0,y=2及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,∴a=-160.∴y与x的函数关系式为y=-160(x-6)2+2.6.3分(2)当h=2.6时,y=-160(x-6)2+2.6.当x=9时,y=-160(9-6)2+2.6=2.452.43.∴球能越过网.5分当x=18时,y=-160(18-6)2+2.6=0.20.∴球会过界.7分(3)x=0,y=2,代入y=a(x-6)2+h,得a=2-h36.当x=9时,y=2-h36(9-6)2+h=2+3h42.43.①9分当x=18时,y=2-h36(18-6)2+h=8-3h0.②11分由①②,得h≥83.14分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1图形面积问题例1(2016·安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得4𝑎+2𝑏=4,36𝑎+6𝑏=0,解得𝑎=-12,𝑏=3.(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥x轴于点F.S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4,S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD·CF=12×4×-12𝑥2+3𝑥=-x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6).因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结求图形的面积,一般通过转化解决,本题连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,把得到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(2018·湖北荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召,某单位不断美化环境,拟在一块矩形空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙长不超过18m,另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中,垂直于墙的边AB=xm,面积为ym2(如图).(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若矩形空地的面积为160m2,求x的值;考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表).问丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.甲乙丙单价(元/棵)141628合理用地(m2/棵)0.410.4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)y=x(36-2x)=-2x2+36x.(2)由题意:-2x2+36x=160,解得x=10或x=8.∵x=8时,36-16=2018,不符合题意,∴x的值为10.(3)∵y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162,∴x=9时,y有最大值162,设购买了乙种绿色植物a棵,购买了丙种绿色植物b棵,由题意:14(400-a-b)+16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值为214,此时a=2,需要种植的面积=0.4×(400-214-2)+1×2+0.4×214=162.8162,∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2最值问题例2(2018·四川眉山)传统的端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=34𝑥(0≤𝑥≤6),20𝑥+80(6𝑥≤20).(1)李明第几天生产的粽子数量为280只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只,由题意可知:20x+80=280,解得x=10.答:第10天生产的粽子为420只.(2)由图象得,当0≤x10时,p=2;当10≤x≤20时,设p=kx+b,把点(10,2),(20,3)代入得,10𝑘+𝑏=2,20𝑘+𝑏=3,解得𝑘=0.1,𝑏=1,∴p=0.1x+1.①0≤x≤6时,w=(4-2)×34x=68x,当x=6时,w最大=408(元);②6x≤10时,w=(4-2)×(20x+80)=40x+160,∵x是整数,∴当x=10时,w最大=560(元);③10x≤20时,w=(4-0.1x-1)×(20x+80)=-2x2+52x+240,∵a=-20,考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3∴当x=-𝑏2𝑎=13时,w最大=578(元).综上,当x=13时,w有最大值,最大值为578元.方法总结本题考查了利润最大化问题,解题的关键根据题目给出的自变量的取值范围,列出对应函数关系式.一般把二次函数关系式配成顶点形式,结合自变量取值范围和抛物线的开口方向解决问题.但要注意:若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内,我们就需要结合函数图象的增减性质求出最值.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练2(2017·山东济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规