（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第六单元 圆 第23讲 与圆有

第23讲与圆有关的位置关系考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点一与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种,分别是:点在圆外、点在圆上和点在圆内.设圆的半径为r,平面内任意一点到圆心的距离为d,则(1)点在圆外⇔dr,如点A;(2)点在圆上⇔d=r,如点B;(3)点在圆内⇔dr,如点C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数012d与r的关系drd=rdr考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点二切线的性质与判定(高频)1.切线的定义:直线与圆只有一个公共点,这时称直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.4.切线长及其定理(1)定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点三三角形的外接圆与内切圆图形内心、外心性质外接圆三边垂直平分线的交点叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等内切圆三条内角平分线的交点叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点1切线的性质1.(2018·安徽,12,5分)如图,菱形ABOC中AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=60°解析:连接OA,根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即可.连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB,∴∠AOD=∠AOB=30°,同理,∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点32.(2012·安徽,9,4分)如图,A点在半径为2的☉O上,过线段OA上的一点P作直线l,与☉O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(D)命题点2直线与圆的位置关系考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析∵AB与☉O相切,∴∠BAP=90°,∵OP=x,AP=2-x,∠APB=60°,∴AB=3(2-x),∴△APB的面积y=32(2-x)2(0≤x≤2).观察各选项,只有D项符合.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点33.(2013·安徽,10,4分)如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在以下判断中,不正确的是(C)A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形命题点3三角形的外接圆考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析A当弦PB最长时,PB为☉O的直径,由圆周角定理得出∠BAP=90°,再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP,则△APC是等腰三角形正确B当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与B点重合,由垂径定理可得PO⊥AC正确C当PO⊥AC时,点P是AC的中点或与B点重合,可得∠ACP=30°或∠ACP=60°错误D当∠ACP=30°时,点P是AC的中点时,BP是直径,由圆周角定理得∠BCP=90°;点P是AB的中点时,CP是直径,得∠CBP=90°,△BPC是直角三角形正确考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1与圆有关的位置关系例1(2018·黑龙江大庆)已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为.解:把点(12,-5)代入直线y=kx得,-5=12k,∴k=-512.由直线y=-512x向上平移m(m0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=-512x+m(m0),设直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,(如图所示)当x=0时,y=m;当y=0时,x=125m,考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3∴A125m,0,B(0,m),即OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,AB=𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=14425𝑚2+𝑚2=135m.过点O作OD⊥AB于D,∵S△ABO=12OD·AB=12OA·OB,∴12OD·135m=12×125m2,∵m0,解得OD=1213m,由直线与圆的位置关系可知1213m6,解得m132.方法总结直线与圆的位置关系:圆心到直线的距离大于圆的半径,直线与圆相离;圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与圆相切;圆心到直线的距离小于圆的半径,直线与圆相交,反之也成立.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(2018·浙江嘉兴)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D)A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内解析:点和圆的位置关系有:点在圆上,点在圆内,点在圆外三种,故“点在圆外”不成立,即“点在圆内或圆上”,故正确答案为D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练2(2018·安徽师大附中模拟)如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)A.相切B.相交C.相离D.无法确定考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∴AM×BC=AC×AB,∴AM=3×45=125,∵D、E分别是AC、AB的中点,∴DE∥BC,DE=12BC=2.5,∴AN=MN=12AM,∴MN=1.2,∵以DE为直径的圆半径为1.25,∴r=1.251.2,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练3(课本习题改编)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是(A)A.8≤AB≤10B.8AB≤10C.4≤AB≤5D.4AB≤5考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:作OE⊥AB交圆O于E,过点E作CD∥AB,交圆O于C,D.连接OC,则三角形OCE为直角三角形,且OC=5,OE=3,由勾股定理求得CE=4.所以CD=8,根据题意可知AB的范围是8≤AB≤10,故选A.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2切线性质及判定例2(2018·安徽名校模拟)如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:△ACD是等边三角形;(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.𝐷𝐴=𝐷𝐶考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3(1)证明:∵BM是☉O的切线,AB为☉O直径,∴AB⊥BM,∵BM∥CD,∴AB⊥CD,∴𝐴𝐷=𝐴𝐶,∴AD=AC.∵𝐷𝐴=𝐷𝐶,∴DC=AD,∴AD=CD=AC,∴△ACD是等边三角形.(2)解:∵△ACD是等边三角形,AB⊥DC,∴∠DAB=30°,如图,连接BD,则BD⊥AD,∴∠EBD=∠DAB=30°.∵DE=2,∴BE=4,BD=23,AB=43,OB=23,在Rt△OBE中,由勾股定理得OE=𝑂𝐵2+𝐵𝐸2=(23)2+42=27.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结解决与圆有关的问题,要充分关注与圆有关的条件带来的结论.常见的有以下几种:考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练4(2018·枞阳二中模拟)如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为(B)A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6解析:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,所以∠BCA=90°.过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD=𝐴𝐶·𝐵𝐶𝐴𝐵=125,即d=2.4.因为直线与圆相切于D,所以圆的半径r=d=2.4.故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练5(2018·四川泸州)在平面直角坐标系内,以原点O为原心,1为半径作圆,点P在直线y=上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为(D)A.3B.2C.3D.23x+23解析:由题可知,B(-2,0),C(0,23),P为直线上一点,过P作圆O的切线PA,连接AO,则在Rt△PAO中,AO=1,由勾股定理可得PA=𝑃𝑂2-𝐴𝑂2,要想使PA最小,要求PO最小,所以过点O作OP'⊥BC于点P',此时P'O=3,P'A=2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法3三角形的外接圆与内切圆例3(2017·湖北武汉)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为()A.32B.32C.3D.23考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3答案:C解析:作三角形一边上的高,不妨作最长边BC的高AD,设BD=x,则CD=8-x,则有h2=52-x2=72-(8-x)2,解得x=52,从而h=532,∴三角形面积=12h·8=12r·(5+7+8),∴r=3,故选C.方法总结圆与三角形有着密不可分的关系,任意一个三角形都有一个外接圆和内切圆.求三角形内切圆的半径一般是通过三角形的面积分解来求取,求三角形外接圆半径一般是求出一边上的高或者延长半径成直径,根据直径所对的圆周角是90度,构造直角三角形再通过相似来解决.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练6(2018·山东烟台)如图四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是(C)A.56°B.62°C.68°D.78°解析:∵点I是△ABC的内心,∴AI、CI是△ABC的两条角平分线,∴∠AIC=90°+∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练7(2018·合肥庐阳区二模)如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(A)A.5B.6C.2D.52考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:如图所示,点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.5