（江西专版）2020中考数学复习方案 题型突破04 几何综合探究题课件

题型突破（四）几何综合探究题本类型是几何中从特殊到一般的探索性问题,虽然特殊情况下与一般情况下的结论不尽相同,但在图形变化过程中可以感受到存在恒不变的数学现象,有时需运用恒不变的数学结论解决其他拓展性问题.解答此类题的关键是顺着题目铺设好的台阶一步一步走,顺着前面题目中提供的思考方向“顺藤摸瓜”,求同存异,大胆猜想、探究.类型一从特殊到拓展应用的探究性问题（2018,22/2017,23/2016,22/2015,24/2013,23）例1[2018·淄博](1)操作发现:如图Z4-1①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是,位置关系是.图Z4-1例1[2018·淄博](2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.图Z4-1例1[2018·淄博](3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图Z4-1【分层分析】(1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN,位置关系为GM⊥GN.例1[2018·淄博](2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.【分层分析】(2)连接BE,CD,可得△ADC≌△ABE,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系.图Z4-1(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连接CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.∵M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=12CD.同理可得NG∥BE,NG=12BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.①例1[2018·淄博](3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.【分层分析】(3)连接BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.图Z4-1(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连接BE,CD,CE与GM相交于点H.∵M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=12CD.同理NG∥BE,NG=12BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.②∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GHN+∠GNH=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.②【方法点析】解决研究性的数学问题时,先从既简单又特殊的情形入手,由此获得各种情形下的结论;在研究的过程中要看到问题的本质,会结合图形的相关性质,灵活运用化归、分类讨论等数学思想方法解决问题.【配练】[2019·赤峰][问题]如图Z4-2①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.[探究发现](1)如图②,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程.图Z4-2[数学思考](2)如图③,若点P是AC上的任意一点(不含端点A,C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.图Z4-2[拓展引申](3)如图④,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A,B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.图Z4-2解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°.∵CD∥AB,∴∠DCB=∠CBA=45°,且BD⊥CD,∴∠DBC=∠DCB=45°,∴DB=DC,即DB=DP.【配练】[2019·赤峰][问题]如图Z4-2①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.[数学思考](2)如图③,若点P是AC上的任意一点(不含端点A,C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.图Z4-2(2)证明:∵DG⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DCG=∠DGC=45°,∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°.∵∠BDP=∠CDG=90°,∴∠CDP=∠BDG,∴△CDP≌△GDB(ASA),∴BD=DP.【配练】[2019·赤峰][问题]如图Z4-2①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.[拓展引申](3)如图④,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A,B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.图Z4-2(3)如图,过点M作MH⊥MN交AC于点H,连接CM,HQ.∵MH⊥MN,∴∠AMH+∠NMB=90°.∵CD∥AB,∠CDB=90°,∴∠DBM=90°,∴∠NMB+∠MNB=90°.∴∠HMA=∠MNB,且AM=BN,∠CAB=∠CBN=45°,∴△AMH≌△BNQ(ASA),∴AH=BQ.∵∠ACB=90°,AC=BC=4,∴AB=42,AC-AH=BC-BQ.∴CH=CQ,∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB,∴HQ∥AB,∴∠HQM=∠QMB.∵∠ACB=∠HMQ=90°,∴点H,M,Q,C四点共圆,∴∠HCM=∠HQM,∴∠HCM=∠QMB,且∠A=∠CBA=45°,∴△ACM∽△BMQ,∴𝐴𝐶𝐵𝑀=𝐴𝑀𝐵𝑄,∴442-𝐴𝑀=𝐴𝑀𝐵𝑄,∴BQ=-(𝐴𝑀-22)24+2,∴AM=22时,BQ有最大值为2.|题型精练|1.[2019·嘉兴]小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故:如图Z4-3①,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.①图Z4-3(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图②,任意画△ABC,在AB上任取一点P',画正方形P'Q'M'N',使Q',M'在BC边上,N'在△ABC内,连接BN'并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.②图Z4-3②③图Z4-3(3)推理:证明图②中的四边形PQMN是正方形.(4)拓展:在(2)的条件下,于波利亚线BN上截取NE=NM,连接EQ,EM(如图③).当tan∠NBM=34时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.请帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.解:(1)∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴𝑃𝑁𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐷,即𝑃𝑁6=4-𝑃𝑁4,解得PN=125.1.[2019·嘉兴]小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(3)推理:证明图②中的四边形PQMN是正方形.②图Z4-3(3)证明:由画法可得∠QMN=∠PNM=∠PQM=∠Q'M'N'=90°,∴四边形PQMN为矩形,MN∥M'N',∴△BM'N'∽△BMN,∴𝑀'𝑁'𝑀𝑁=𝐵𝑁'𝐵𝑁,同理可得𝑃'𝑁'𝑃𝑁=𝐵𝑁'𝐵𝑁,∴𝑀'𝑁'𝑀𝑁=𝑃'𝑁'𝑃𝑁,∵M'N'=P'N',∴MN=PN,∴四边形PQMN为正方形.1.[2019·嘉兴]小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(4)拓展:在(2)的条件下,于波利亚线BN上截取NE=NM,连接EQ,EM(如图③).当tan∠NBM=34时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.请帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.③图Z4-3(4)猜想∠QEM=90°.证明如下:由tan∠NBM=𝑀𝑁𝐵𝑀=34,可设MN=3k,BM=4k.则BN=5k,BQ=k,BE=2k,∴𝐵𝑄𝐵𝐸=𝑘2𝑘=12,𝐵𝐸𝐵𝑀=2𝑘4𝑘=12,∴𝐵𝑄𝐵𝐸=𝐵𝐸𝐵𝑀.∵∠QBE=∠EBM,∴△QBE∽△EBM,∴∠BEQ=∠BME.∵NE=NM,∴∠NEM=∠NME.∵∠BME+∠EMN=90°,∴∠BEQ+∠NEM=90°,∴∠QEM=90°.2.[2019·江西样卷一]定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图Z4-4①,在△ABC与△AED中,BA=BC,EA=ED,且△ABC∽△AED,所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接EB,DC,则称𝐷𝐶𝐸𝐵为“关联比”.下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题:图Z4-4[特例感知](1)当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,且α=90°时;①在图②中,若点E落在AB上,则“关联比”𝐷𝐶𝐸𝐵=;②在图③中,探究△ABE与△ACD的关系,并求出“关联比”𝐷𝐶𝐸𝐵的值.图Z4-4𝟐[类比探究](2)如图④.①当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,且α=120°时,“关联比”𝐷𝐶𝐸𝐵=;②猜想:当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,且α=n°时,“关联比”𝐷𝐶𝐸𝐵=.(直接写出结果,用含n的式子表示)图Z4-4[迁移运用](3)如图⑤,△ABC与△AED为“关联等腰三角形”.若∠ABC=∠AED=90°,AC=4,点P为AC边上一点,且PA=1,点E为PB上一动点,求点E自点B运动至点P时,点D所经过的路径长.图Z4-42.[2019·江西样卷一]定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图Z4-4①,在△ABC与△AED中,BA=BC,EA=ED,且△ABC∽△AED,所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接EB,DC,则称𝐷𝐶𝐸𝐵为“关联比”.下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题:图Z4-4[特例感知](1)当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”,且α=90°时;②在图③中,探究