（江苏专用）2020版高考数学总复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和课件 苏教版

第三节等比数列及其前n项和1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式3.等比中项4.等比数列的前n项和公式教材研读5.等比数列的性质考点一等比数列的基本运算考点二等比数列的判定与证明考点突破考点三等比数列的性质及应用 1.等比数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第①二项起,每一项与它的前一项的比都等于②同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.(2)符号语言: =q(n∈N*,an≠0,q≠0).1nnaa教材研读2.等比数列的通项公式设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则第n项an=③a1qn-1.3.等比中项若a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,且G=④± .ab4.等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q,则其前n项和Sn= 111n(1),(1)(1).11nnaqaqaaqqqq⑤　　⑥　或　5.等比数列的性质(1)an=am⑦qn-m(n,m∈N*).(2)等比数列{an}中,对任意的m、n、p、q∈N*,若m+n=p+q,则⑧aman=apaq.特殊地,若m+n=2p,则aman=⑨ .(3)等比数列{an}中依次每m项的和仍成 等比数列,即Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍成 等比数列,其公比为 qm(q≠-1).2pa设Sn为等比数列{an}的前n项和.(1)an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,……成等比数列(m∈N*).(3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.SS偶奇知识拓展与等比数列相关的结论(5)若三个数成等比数列,则通常设为 ,x,xq. xq(4){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).1nannab1.(教材习题改编)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,则k=.答案3或- 185解析由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),解得k=3或- .1852.(教材习题改编)设{an}是等比数列,有下列四个命题:(1){ }是等比数列;(2){anan+1}是等比数列;(3) 是等比数列;(4){lg|an|}是等比数列.其中正确命题的个数是.2na1na答案3解析设等比数列{an}的公比为q,则{ }和{anan+1}都是公比为q2的等比数列,(1)(2)正确; 是公比为 的等比数列,(3)正确;{lg|an|}是等差数列,(4)错误.2na1na1q3.(教材习题改编)等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则a4=.答案8或 12解析由{an}是等比数列,得a1a2a3= =8,a2=2,则 解得a1=-1,a3=-4或a1=-4,a3=-1,则a4=8或 .32a13135,4,aaaa124.(2018江苏溧水中学月考)已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式为.答案an=3n-1解析由题意得(a+1)2=2a+5,a+10,解得a=2(舍负),则等比数列{an}的公比是3,首项是1,则an=3n-1.5.(2018南京高三模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且a1=1,S6=3S3,则a7的值为.答案4解析由S6=3S3得等比数列{an}的公比q≠1,则 = ,化简得1-q6=3(1-q3),解得q3=2,又a1=1,所以a7=a1q6=4.61(1)1aqq313(1)1aqq考点一等比数列的基本运算典例1(1)(2018江苏三校高三联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1+S2+S3=10,S2+S3+S4=15,则公比q=.(2)(2018扬州高三调研)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a3=2,S12=4S6,则a9的值为.考点突破答案(1)1(2)2或6解析(1)当q=1时,S1+S2+S3=6a1=10,a1= ,S2+S3+S4=9a1=15,符合题意;当q≠1时,S1+S2+S3= (3-q-q2-q3)=10,S2+S3+S4= (3-q2-q3-q4)=15,无解,故q=1.(2)由S12=4S6得等比数列的公比q≠1,则 = ,化简得1-q12=4(1-q6),解得q6=1或q6=3,即q=-1或q=± ,又a3=2,所以a9=a3q6=2或6.5311aq11aq121(1)1aqq614(1)1aqq63方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,数列{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,数列{an}的前n项和Sn= = .1(1)1naqq11naaqq易错警示本例题(2)容易漏解,判断出q≠1后从“1-q12=4(1-q6)”的两边同时约去1-q6导致遗漏q=-1的情况,所以在约分时要慎重.1-1(2018江苏无锡普通高中期末)等比数列{an}中,若a2=1,a5=8,则a7=.答案32解析由题意知q3= =8,q=2,则a7=a5q2=32.52aa典例2(2018江苏五校高三学情检测)已知数列{an},{bn}满足:bn=an+3an+1,n∈N*.(1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值;(2)设an=bn+bn+1,a1=-1,a2= ,求证:数列{bn}从第2项起成等比数列.421考点二等比数列的判定与证明解析(1)当n=1,2时,可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,从而可得a1=4.(2)证明:由a1=-1,a2= ,可得b1=a1+3a2=- ,b2=a1-b1=- ,因为bn=an+3an+1,an=bn+bn+1,所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,n∈N*,又b2=- ≠0,所以 =- ,n∈N*且n≥2,所以数列{bn}从第2项起成等比数列.4213747471nnbb43等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在an≠0(n∈N*)的前提下,若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数,n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列已知递推关系式,或者是对an与Sn的关系式进行化简,转化为数列{an}中相邻两项之间的关系等比中项法数列{an}中,an≠0,如果根据已知条件能化简得到 =an·an+2(n∈N*),或者是证明此式成立,则数列{an}是等比数列证明三项成等比数列通项公式法观察已知信息,或者是计算出数列的通项公式,若可以写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列能明确通项公式,用于填空题前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列能明确前n项和公式,用于填空题1nnaa1nnaa21na方法技巧2-1(2018江苏无锡高三期末)已知等差数列{an}的公差d不为0,且 , ,…, ,…成等比数列(k1k2…kn…),公比为q.(1)若k1=1,k2=3,k3=8,求 的值;(2)当 为何值时,数列{kn}为等比数列?1ka2kanka1ad1ad解析(1)由已知可得a1,a3,a8成等比数列,所以(a1+2d)2=a1(a1+7d),整理可得4d2=3a1d.因为d≠0,所以 = .(2)设数列{kn}为等比数列,则 =k1k3.因为 , , 成等比数列,且d≠0,1ad4322k1ka2ka3ka所以[a1+(k1-1)d][a1+(k3-1)d]=[a1+(k2-1)d]2.整理得a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3- -k1-k3+2k2).因为 =k1k3,所以a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3).因为2k2≠k1+k3,所以a1=d,即 =1.当 =1时,an=a1+(n-1)d=nd,所以 =knd.又因为 = qn-1=k1dqn-1,所以kn=k1qn-1.所以 = =q,所以数列{kn}为等比数列.综上,当 =1时,数列{kn}为等比数列.22k22k1ad1adnkanka1ka1nnkk111nnkqkq1ad考点三等比数列的性质及应用角度一等比数列项的性质典例3(1)(2018江苏如东高级中学阶段测试(二))在等比数列{an}中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则a4+a8=.(2)等比数列{an}的各项均为正数,且a4a7=3,则log3a1+log3a2+…+log3a10=.答案(1) (2)551解析(1)在等比数列{an}中,a6a10+a3a5= + =41,则(a4+a8)2=51,又各项均为正值,所以a4+a8= .(2)log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log3 =5log33=5.28a24a51547()aa角度二等比数列前n项和的性质典例4(2018泰州中学高三检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3=7,S6=63,则S9=.答案511解析因为Sn是等比数列{an}的前n项和,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则S3(S9-S6)= ,即7(S9-63)=(63-7)2,解得S9=511.263()SS3-1若在等比数列{an}中,a1·a2·…·a9=512,则a5=.答案2解析在等比数列{an}中,a1·a2·…·a9= =512,则a5=2.95a3-2等比数列的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则A,B,C的关系是.答案A2+B2=A(B+C)考点突破