（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量的数量积及其应用课件

§5.2平面向量的数量积及其应用高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 · =6 · ,则 的值是. ABACAOECABAC答案 3解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中点, 又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO= AD,∴ =  = × ( + ).12AO12AD1212ABAC∴ · = ( + )· =  .∵ · =6 · ,∴ · =  -  + · ,∴ =3 ,∴| |= | |,∴ = .AOEC14ABAC13ACAB14222133ACABACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2ACAB3ACABAC3一题多解由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系. 则E ,D ,易得lAD:y= x,lEC: + =1,联立得 解得 则O .由 · =6 · 得6 · =0,∴c2=3b2,∴c= b,∴ = .0,3c,22bccbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,44bcABACAOEC,44bc,3cb3ABAC32.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, · =4, · =-1,则 · 的值是. BACABFCFBECE答案 78解析解法一: · = · =( + )·( - )= - ,①同理, · = - ,② · = - ,③因为E,F是AD上的两个三等分点,所以 =9 , =4 ,由①-③可得8 =5,即 = .由②③可得 · = · +3 =-1+ = .解法二:由已知可得 = + =  +  =  -  = ( - )- ( + )=  -  , = + =  +  =  -  = ( - )- ( + )BACAABACADDBADDB2AD2DBBECE2ED2DBBFCF2FD2DB2AD2FD2ED2FD2FD2FD58BECEBFCF2FD15878BEBDDE12BC23DA12BC23AD12ACAB13ABAC16AC56ABCECDDE12CB23DA12CB23AD12ABAC13ABAC=  -  , = + =  +  = ( - )- ( + )=  -  , = + =  +  = ( - )- ( + )=  -  ,因为 · =4,所以 · =4,则 · =   -   · =  · -  -  +  · =  · - ( + )16AB56ACBFBDDF12BC13DA12ACAB16ABAC13AC23ABCFCDDF12CB13DA12ABAC16ABAC13AB23ACBACAABACBFCF13AC23AB1233ABAC19ABAC292AB292AC49ABAC59ABAC292AB2AC= ×4- ( + )=-1,所以 + = ,从而 · =   -   · =-  -  +  · =- ( + )+  · =- × + ×4= = .59292AB2AC2AB2AC292BECE16AC56AB1566ABAC5362AB5362AC2636ABAC5362AB2AC2636ABAC5362922636637278解后反思求解平面向量的有关问题,通常有两种处理方法:一是通过建立直角坐标系,转化为向量的坐标运算来加以解决,二是选择两个不共线的向量作为基底,通过将所求的向量转化为用基底表示的形式来加以解决.一般情况下,运用向量的坐标运算时可操作性强,而运用向量的基底时对思维的要求较高.方法总结应用基底来处理相关的向量问题时,要注意合理选择向量的基底.一般地,我们在选择基底时,要注意充分利用图形的“对称性”进行选择.3.(2015江苏,14,5分)设向量ak= (k=0,1,2,…,12),则 (ak·ak+1)的值为.cos,sincos666kkk110k答案9 3解析ak·ak+1= · cos ,sin +cos  =cos cos + · =cos cos +sin sin +sin cos +cos sin +cos cos =cos +sin +cos cos = +sin + cos2 - cos sin = +sin +  - sin = +sin + cos .因为y=sin ,y= cos 的周期皆为6,一个周期内的函数值和皆为零,因此 (ak·ak+1)= ×12=9 .cos,sincos666kkk(1)6k(1)6k(1)6k6k(1)6ksincos66kk(1)(1)sincos66kk6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k626k6k(1)6k3226k326k126k6k3226k341cos3k143k334(21)6k12(21)6k(21)6k12(21)6k110k3343B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.答案8解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.2.(2019课标全国Ⅱ理改编,3,5分)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,则 · =.ABACBCABBC答案2解析本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的思想方法.考查的核心素养为数学运算.∵ = - =(1,t-3),∴| |= =1,∴t=3,∴ · =(2,3)·(1,0)=2.BCACABBC221(3)tABBC思路分析先利用| |=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.BC3.(2019课标全国Ⅰ理改编,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为.答案 3解析本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;考查的核心素养是数学建模和数学运算.解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cosa,b-|b|2=0,即cosa,b= ,又知a,b∈[0,π],所以a,b= .解法二:如图,令 =a, =b,则 = - =a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以∠AOB= ,即a,b= . 123OAOBBAOAOB33思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.4.(2019课标全国Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- b,则cosa,c=.5答案 23解析本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养.∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴a·c=a·(2a- b)=2a2- a·b=2,|c|=|2a- b|= = =3.∴cosa,c= = .5552(25)ab224a5b45ab||||acac23小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)- (0,1)=(2,- ),∴cosa,c= = .5521323方法总结利用数量积求解向量模的处理方法:①a2=a·a=|a|2或|a|= ;②|a±b|= .aa2()ab5.(2018课标全国Ⅱ理改编,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=.答案37解析因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.6.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案2 3解析本题考查平面向量的模与数量积的计算,考查学生的运算求解能力.解法一(公式法):由题意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1× =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2 .解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b= ,则a+2b=(3, ),所以|a+2b|= =2 .12313,223223(3)37.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤ ,则a·b的最大值是.6答案 12解析对任意单位向量e,均有 ≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|,∴|a+b|≤ ,当且仅当a+b与e共线时,等号成立.∴a2+2a·b+b2≤6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b≤ ,即a·b的最大值为 .661212考点二数量积的综合应用1.(2019课标全国Ⅱ文改编,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=.答案 2解析本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|= = .22(1)12一题多解∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|= = = .222aabb132121322.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2 ,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则 · =.3BDAE答案-1解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.解法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,又EA=EB,∴∠EAB=30°,在△EAB中,AB=2 ,∴EA=EB=2.以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(0,0),D(5,0),E(1, ),B(3, ),∴ =(2,- ), =(1, ),333BD3AE3∴ · =(2,- )·(1, )=-1.解法二:同解法一,得AB=2 ,以 , 为一组基底,则 = - , = + = -  ,∴ · =( - )· = · - +  · -  =  · - -  = ×5×2 × -12- ×25=-1.BDAE333ABADBDADA