（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量

第五章平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角为α,且tanα=7, 与 的夹角为45°.若 =m +n (m,n∈R),则m+n=. OAOBOC2OAOCOBOCOCOAOB答案3解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα= ,sinα= ,∵ 与 的夹角为α,∴ = ,∵ =m +n ,| |=| |=1,| |= ,∴ = ,①又∵ 与 的夹角为45°,∴ = = ,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°= × - × =- ,2107210OAOC210||||OAOCOAOCOCOAOBOAOBOC22102mnOAOBOBOC22||||OBOCOBOC2mOAOBn2102272102235∴ · =| |·| |·cos∠AOB=- ,将其代入①②得m- n= ,- m+n=1,两式相加得 m+ n= ,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则 =m , =n ,由正弦定理得 = = ,∵| |= ,由解法一知,sinα= ,cosα= ,∴| |= = = ,| |= = = ,OAOBOAOB35351535252565OMOAONOB||sin45OM||sin(135)OCα||sinONαOC27210210OM2sin45sin(135)α1sin(45)α54ON2sinsin(135)αα72210sin(45)α74又 =m +n = + ,| |=| |=1,∴m= ,n= ,∴m+n=3.OCOAOBOMONOAOB5474方法总结对于所给出的向量等式的处理可以从以下三个方面进行:一是通过向量的平行四边形法则,转化为三角形中的边角的关系,应用正弦定理、余弦定理来加以解决;二是通过向量的线性运算来进行求解;三是通过乘相同的向量,从而将向量等式转化为数量等式来加以解决.2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得 解得 从而m-n=-3.29,28,mnmn2,5,mn名师点睛明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面向量基本定理的应用.向量共线的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.向量垂直的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一向量的线性运算与几何意义1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确的是.① =  -  ;② =  -  ;③ =  +  ;④ =  +  .EB34AB14ACEB14AB34ACEB34AB14ACEB14AB34AC答案①解析本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.∵E是AD的中点,∴ =-  ,∴ = + =-  + ,又∵D为BC的中点,∴ = ( + ),因此 =- ( + )+ =  -  .EA12ADEBEAAB12ADABAD12ABACEB14ABACAB34AB14AC题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首尾相连的向量的和用三角形法则.(3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.(4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.2.(2017天津文,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若 =2 , =λ - (λ∈R),且 · =-4,则λ的值为.BDDCAEACABADAE答案 311解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算.由 =2 得 =  +  ,所以 · = ·(λ - )= λ · -  + λ -  · ,又 · =3×2×cos60°=3, =9, =4,所以 · =λ-3+ λ-2= λ-5=-4,解得λ= . BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311思路分析根据 =2 得 =  +  ,利用 · =-4以及向量的数量积建立关于λ的方程,从而求得λ的值.BDDCAD13AB23ACADAE一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 =λ - =λ(1, )-(3,0)=(λ-3, λ),因此 · = (λ-3)+ × λ= λ-5=-4,解得λ= . 3BDDC523,33AD523,33AEACAB33ADAE5323331133113.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是.①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a||b|.答案①解析本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念.解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线相等,则该平行四边形是矩形,所以a⊥b.解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.4.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;2 5解析本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.∵ ≤ = = ,∴|a+b|+|a-b|≤2 .当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a·b=0.故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 .解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得1≤x≤3.设y=|a-b|,同理,1≤y≤3.而x2+y2=2a2+2b2=10,故可设x= cosθ, ≤cosθ≤ ,||||2abab22||||2abab22ab55510110310y= sinθ, ≤sinθ≤ .设α1,α2为锐角,且sinα1= ,sinα2= ,则有α1≤θ≤α2,又0α1 α2 ,则x+y= (cosθ+sinθ)=2 sin ,α1+ ≤θ+ ≤α2+ ,而 α1+  α2+  ,故当θ+ = ,即θ= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 .又sin =sin =  = ,故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.则|a+b|+|a-b|= + 10110310110310421054θ444442434424514α24α221310102522(2)xy22(2)xy= + = + = = ,∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 ,当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.解法四:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得1≤x≤3.设y=|a-b|,同理可得1≤y≤3.又x2+y2=2a2+2b2=10.故可转化为线性规划问题“已知 求x+y的最大值和最小值.”其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4.与圆弧相切时,切点为C( , ),x+y有最大值2 ,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2 .22441xxx22441xxx54x54x2(5454)xx21022516x52210,13,13,xyxy55555.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x=,y=.AMMCBNNCMNABAC答案 ;- 1216解析由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如下: 则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- · =  -  ,又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .AMMCBNNCAN12ABACMNANAM12ABAC23AC12AB16ACMNABAC1216考点二平面向量基本定理及坐标表示1.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点, =λ +(λ-2) ,则λ=.OMOAOB答案3解析由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 =λ +(λ-2) 得(x,y)=λ(1,2)+(λ-2)(1,-2)=(2λ-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2λ-2),解得λ=3.OMOAOB2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1 +λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |的最小值是,最大值是.ABBCCDDAACBD答案0;2 5解析本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ∴ =(1,0), =(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,1),故|λ1 +λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|= .(*)显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可,当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1,ABBCCDDAACBDABBCCDDAACBD2213562456()()λλλλλλλλ则(*)式即为 ,∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4