（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本不等式及不等式的应用课件

§7.3基本不等式及不等式的应用高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点基本不等式及不等式的应用1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.4x答案4解析本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= =  ≥4,当且仅当x0= ,即x0= 时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.4x0004,xxx00042xxx2002xx02x2一题多解当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行.设P ,x00,易知y'=1- ,令1- =-1,得 =2.∵x00,∴x0= ,∴P( ,3 ).此时点P到直线x+y=0的距离为 =4.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.0004,xxx24x204x20x222|232|22.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案9解析解法一(面积法):利用S△ABC=S△ABD+S△BCD,得 acsin120°= csin60°+ asin60°,则ac=a+c,即 + =1,所以4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A ,C ,D(1,0),由A,D,C三点共线,得 = ,化简得ac-a-c=0,即 + =1,所以4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.1212121a1c11acca4ac3213,22cc13,22aa32112cc32112aa1a1c11acca4ac323.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y= ·6+4x=4 ≥240.当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.600x900xx900x易错警示1.a+b≥2 (a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.ab2.本题是求取最值时变量x的值,不要混淆于求最值.4.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.答案8解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=- = ,又△ABC为锐角三角形,∴tanA= 0,∵tanB+tanC0,∴tanBtanC1,∴tanAtanBtanC= ·tanB·tanC= ,令tanBtanC-1=t,则t0,∴tanAtanBtanC= =2 ≥2×(2+2)=8,当且仅当t= ,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.tantan1tantanBCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBC22(tantan)tantan1BCBC22(1)tt12tt1t一题多解由已知得sinBsinC= sinA,①令cosBcosC=tcosA②,则①÷②得tanBtanC= tanA,①-②得cosA= sinA-tcosA,即(1+t)cosA= sinA⇒tanA=2(1+t),故tanAtanBtanC= tan2A= ·[2(1+t)]2= ≥ =8,当且仅当t=1,即cosBcosC=cosA,即tanA=4时取等号.1212t121212t12t22(1)tt22(2)ttB组统一命题、省(区、市)卷题组考点基本不等式及不等式的应用1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为.(1)(21)xyxy答案4 3解析本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.∵x+2y=5,x0,y0,∴ = = =2 + ≥2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4 .(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为.18b答案 14解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+ =2a+2-3b≥2 =2 =2 = .当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .18b322ab32ab621418b14易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab0,则 的最小值为.4441abab答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴ ≥ =4ab+ ,由于ab0,∴4ab+ ≥2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 ,故当且仅当 时, 的最小值为4.4441abab2241abab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.4.(2017山东文改编,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.xayb答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得 + =1,∵a0,b0,∴2a+b=(2a+b) =2+ + +2≥4+2 =8 .故2a+b的最小值为8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时等号成立5.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为.1a3b答案3 2解析设 =m, =n,则m,n均大于零,因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,所以m+n≤ · ,所以 + ≤ · =3 ,当且仅当 = ,即a= ,b= 时“=”成立,所以所求最大值为3 .1a3b222mn1a3b213ab21a3b72322C组教师专用题组考点基本不等式及不等式的应用1.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案2 2解析∵x2+2y2≥2 =2 xy=2 ,当且仅当x= y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为2 .222xy22222.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).答案160解析设底面相邻两边的长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2 =80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.xy3.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案 63解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥ ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥ = ,∴a2≤ ,∴- ≤a≤ ,故a的最大值为 .2()2bc2()2bc22a236363634.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则当a=时, + 取得最小值.12||a||ab答案-2解析∵a+b=2,∴ + = + = + = + + ≥ +2 = +1.当且仅当 = 且a0时, + 取得最小值,此时可求得a=-2.12||a||ab24||a||ab4||aba||ab4||aa4||ba||ab4||aa||4||baab4||aa4||ba||ab12||a||ab5.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的最大值为.xyz2x1y2z答案1解析由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴ = = .又x、y、z为正实数,∴ + ≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.∴ + - = + - =- + =- +1,当 =1,即y=1时,上式有最大值1.xyz2234xyxxyy143xyyxxy4yx2x1y2z22y1y222y21y2y211y1y评析本题考查基本不等式及其应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组考点基本不等式及其应用1.(2019常州期末,9)已知正数x,y满足x+ =1,则 + 的最小值为.yx1xxy答案4解析 + = ×1=  =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 = ,即y=x2时,取“=”,故 + 的最小值为4.1xxy1xxy1xxyyxx2yx2xy22yxxy2yx2xy1xxy名师点睛本题考查利用基本不等式求最值.将 + 看成 ×1,进行“1”的代换,就可以利用基本不等式.本题同时考查计算能力,属于基础题.1xxy1xxy2.(2019宿迁期末,9)已知正实数a,b满足a+2b=2,则 的最小值为.143abab答案 252解析解法一:由a+2b=2得a=2-2b0,所以0b1,则 = ,令f(b)= ,则f'(b)= = = ,当b∈ 时,f(b)递减,当b∈ 时,f(b)递增,所以,当b= 时,f(b)有唯一的极小值,即是最小值,f = = ,所以 的最小值为 .解法二:∵a+2b=2,∴ +b=1,∴ = = = + =  = + + ≥2 + = ,当且仅当3a=4b,即a= ,b= 时取“=”.143abab29522bbb29522bbb222103618(22)bbbb2222(5189)(22)bbbb222(53)(3)(22)bbbb30,53,15353539553922525252143abab2522a143abab432ababab942abab92b4a942ba2ab94ab4ba132944abba13225245353.(2019镇江期末,12)已知x0,y