（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列课件

§6.3等比数列高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3= ,S6= ,则a8=.74634答案32解析本题考查等比数列及其前n项和.设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得 解得 ∴a8=a1q7= ×27=32.3161(1)7,14(1)63,14aqqaqq11,42,aq14评析在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽运算量比较大,但思路简单,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质去解决问题.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.2.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST= + +…+ .例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:STak+1;(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD.1at2atakt解析(1)由已知得an=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又ST=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},an=3n-10,n∈N*,所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1= (3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.②若C是D的子集,则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁UD,F=D∩∁UC,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由SC≥SD得SE≥SF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.12由(2)知,SEak+1.于是3l-1=al≤SF≤SEak+1=3k,所以l-1k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1= ≤ = ≤ ,故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,即SC+SC∩D≥2SD+1.综合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.312l1312k12ka12ES解后反思本题背景新颖,正确理解题意是关键.(1)考查等比数列的通项公式的求法.(2)数列求和与不等式放缩结合,注意放缩要适度.(3)要分情况讨论,有一定难度.评析本题有三个特点:一是数列的新定义,利用新定义确定等比数列的首项,再代入数列通项公式求解;二是利用放缩法求证不等式,放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列,从而利用特殊数列的性质,以算代证;三是结论含义的应用,实质又是一个新定义,只不过是新定义的性质应用.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等比数列的概念及运算1.(2019课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=.答案4解析本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心素养.设等比数列{an}的公比为q.由题意知,an0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,∴q2=4,∴q=2.由S4= =15,解得a1=1.∴a3=a1·q2=4.41(12)12a易错警示对通项公式an=a1·qn-1和Sn= (q≠1)未能熟练掌握,从而导致失分.1(1)1naqq2.(2019上海,8,5分)已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=.答案 3116解析n=1时,S1+a1=2,∴a1=1.n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,两式相减得an= an-1(n≥2),∴{an}是以1为首项, 为公比的等比数列,∴S5= = .12125111211231163.(2019课标全国Ⅰ文,14,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3= ,则S4=.34答案 58解析本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设公比为q(q≠0),则S3=a1+a2+a3=1+q+q2= ,解得q=- ,∴a4=a1q3=- ,∴S4=S3+a4= - = .3412183418584.(2019课标全国Ⅰ理,14,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1= , =a6,则S5=.1324a答案 1213解析本题主要考查等比数列基本量的计算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设{an}的公比为q,由 =a6,得 =a4·q2,∴a4=q2.又∵a4=a1·q3,∴a1·q3=q2,又a1= ,∴q=3.由等比数列求和公式可知S5= = .24a24a1351(13)3131213解题关键由an=a1·qn-1=am·qn-m求出公比q是关键.5.(2018北京理改编,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为.122答案 f7122解析本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用.由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为 的等比数列,设该等比数列为{an},则a8=a1q7,即a8= f.1227122易错警示本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:①读不懂题意,不能正确转化为数学问题.②对要用到的公式记忆错误.③在求解过程中计算错误.6.(2017课标全国Ⅲ理,14,5分)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案-8解析本题考查等比数列的通项.设等比数列{an}的公比为q,由题意得 解得 ∴a4=a1q3=-8.112111,3,aaqaaq11,2,aq7.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案3n-1解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0),依题意得a2=a1·q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.8.(2018课标全国Ⅰ文,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= .(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.nan解析(1)由条件可得an+1= an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得 = ,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得 =2n-1,所以an=n·2n-1.2(1)nn11nan2nannan方法规律等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.9.(2018课标全国Ⅲ理,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn= .由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.1(2)3n解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.10.(2018天津文,18,13分)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.解析本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.由q0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn= =2n-1.设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以,Sn= .(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n= -n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得 +2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍去)或n=4.所以,n的值为4.1212n(1)2nn2(12)12n(1)2nn11.(2017课标全国Ⅱ文,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解析本题考查了等差、等比数列.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②联立①和②解得 (舍去),或 因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.3,0dq1,2.dq12.(2017课标全国Ⅰ文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析本题考查等差、等比数列.(1)设{an}的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n· .由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n· =2 =2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数