（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 函数模型和函数的综合应用课件

§2.6函数模型和函数的综合应用高考数学(江苏省专用)(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= (其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.2axb五年高考A组自主命题·江苏卷题组解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y= ,得 解得 (2)①由(1)知,y= (5≤x≤20),则点P的坐标为 , 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=- ,则l的方程为y- =- (x-t),由此得A ,B .故f(t)= =  ,t∈[5,20].2axb40,252.5,400abab1000,0.ab21000x21000,tt32000x21000t32000t3,02t230000,t222330002tt32624410tt②设g(t)=t2+ ,则g'(t)=2t- .令g'(t)=0,解得t=10 .当t∈(5,10 )时,g'(t)0,g(t)是减函数;当t∈(10 ,20)时,g'(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15 .答:当t=10 时,公路l的长度最短,最短长度为15 千米.64410t651610t2222323思路分析(1)将已知点代入函数关系式可得结果.(2)①先设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B两点,求出l的方程,进而得A,B的坐标,可求得结果.②构造函数,利用函数的单调性求解.名师点睛解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的实际应用1.(2019课标全国Ⅱ理改编,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: + =(R+r) .设α= .由于α的值很小,因此在近似计算中 ≈3α3,则r的近似值为.12()MRr22Mr13MRrR345233(1)αααα答案 R2313MM解析本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以及正确的国家观.将r=α·R代入方程可得 + =(1+α) ,即 + =(1+α)M1,∴ = ,即 = ,∴ ≈3α3,∴α≈ ,∴r=R·α≈ R.12()MRαR222MαR12MR12(1)Mα22Mα2322(33)(1)ααααα21MM21MM543233(1)αααα21MM2313MM2313MM解后反思题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.2.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案①130②15解析本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生活与学习的密切联系.①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.根据题意得(m-x)80%≥m×70%,所以x≤ ,而m≥120,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤ ,而 =15,∴x≤15.所以x的最大值为15.8mmin8mmin8m解题关键正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.3.(2016四川改编,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年.(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)答案2019解析设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1200,则lg[130(1+12%)n-1]lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.050.30,解得n ,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.2454.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.答案24解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb= ×192=24(小时).48eb48192141212312评析本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.考点二函数的综合应用1.(2019课标全国Ⅱ理改编,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥- ,则m的取值范围是.89答案 7,3解析本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数间的递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养.由题意可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 时,f(x)min=- ,且当x= 时,f(x)=- .当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则f(x)= f(x+1).∴若x∈(1,2],则当x= 时,f(x)min=- ,且x= 时,f(x)=- .同理,若x∈(2,3],则当x= 时,f(x)min=-1,且x= 时,f(x)=- .∴函数f(x)的大致图象如图所示.121413291232124349527389 ∵f(x)≥- 对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时,f(x)min≥- ,由图可知m≤ .898973思路分析由x∈(-∞,m]时,f(x)≥- 恒成立,可知f(x)min≥- .由递推关系可作出y=f(x)的大致图象.由图可得m的范围.8989疑难突破由x∈(0,1],f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出x∈R时,y=f(x)的图象是本题的难点.2.(2017天津改编,8,5分)已知函数f(x)= 设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥ 在R上恒成立,则a的取值范围是.23,1,2,1.xxxxxx2xa答案 47,216解析①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥ 在R上恒成立等价于-x2+x-3≤ +a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+ x-3≤a≤x2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x=  ,可得在x= 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x=  ,可得在x= 处取得最小值 ,则- ≤a≤ .②当x1时,关于x的不等式f(x)≥ 在R上恒成立等价于- ≤ +a≤x+ 在R上恒成立,即有- ≤a≤ + 在R上恒成立,由于x1,所以- ≤-2 =-2 ,当且仅当x= 时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ ≥2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 ≤a≤2.由①②可得- ≤a≤2.2xa2x123212141141447163234314343916471639162xa2xx2x2x322xx2x2x322xx322xx3233122x122xx34716思路分析讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数法,可得-x2+ x-3≤a≤x2- x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- ≤a≤ + ,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.1232322xx2x2x3.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)= +a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.4xax答案 9,2解析本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.设g(x)=x+ -a,x∈[1,4],g'(x)=1- = ,易知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)当a≤4时,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.∴a≤4符合题意.(2)当4a≤5时,|g(x)|max=max{a-4,5-a}= 当 a≤5时,f(x)max=a-4+a=5⇒a= (舍去),当4a≤ 时,f(x)max=5-a+a=5,∴4a≤ 符合题意.(3)当a5时,|g(x)|max=a-4,∴f(x)max=a-4+a=5⇒a= (舍去).4x24x224xx94,5,295,4.2aaaa9292929292综上,实数a的取值范围为 .9,24.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2答案①④解析对于①,f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·2-x= ,∵函数y= 在(-∞,+∞)