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高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1题型分类深度剖析PARTONE题型一三角函数的图象和性质师生共研例1设f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求gπ6的值.思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sint的图象求解.跟踪训练1已知函数f(x)=5sinxcosx-53cos2x+532(其中x∈R),求:(1)函数f(x)的最小正周期;解因为f(x)=52sin2x-532(1+cos2x)+532=512sin2x-32cos2x=5sin2x-π3,所以函数的最小正周期T=2π2=π.解由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),(2)函数f(x)的单调区间;所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).由2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12(k∈Z).解由2x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+5π12(k∈Z),(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.所以函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z).由2x-π3=kπ(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z),所以函数f(x)的对称中心为kπ2+π6,0(k∈Z).题型二解三角形师生共研例2△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求角A和边长c;解∵sinA+3cosA=0,∴tanA=-3,又0Aπ,∴A=2π3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即28=4+c2-2×2c×-12,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4.∴16=28+4-2×27×2×cosC,(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解∵c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=27,∴CD=ACcosC=227=7,∴CD=12BC,∴S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=12×4×2×32=23,∴S△ABD=12S△ABC=3.思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.跟踪训练2在△ABC中,∠A=60°,c=37a.(1)求sinC的值;解在△ABC中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理得sinC=csinAa=37×32=3314.解因为a=7,所以c=37×7=3.(2)若a=7,求△ABC的面积.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.题型三三角函数和解三角形的综合应用师生共研例3(2018·南通考试)如图,某机械厂欲从AB=2米,AD=米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件,裁剪要求如下:点E,F分别在边BC,AD上,且EB=EF,AFBE.设∠BEF=θ,四边形ABEF的面积为f(θ)(单位:平方米).22(1)求f(θ)关于θ的函数关系式,求出定义域;(2)当BE,AF的长为何值时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,并求出最小值.思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化,结合三角函数的性质,要注意角的范围对变形过程的影响.跟踪训练3(2018·苏锡常镇四市调研)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ0θπ2.»BC(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观察效果越佳,求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.2课时作业PARTTWO故f(x)的最小正周期为T=2π12=4π.1.(2018·江苏联考)设函数f(x)=2tanx4·cos2x4-2cos2x4+π12+1.基础保分练123456(1)求f(x)的定义域及最小正周期;解f(x)=2sinx4cosx4-cosx2+π6=sinx2-cosx2+π6=sinx2-32cosx2+12sinx2=3sinx2-π6.由x4≠π2+kπ(k∈Z),得f(x)的定义域为{x|x≠2π+4kπ(k∈Z)},∴f(x)max=f(0)=-32.解∵-π≤x≤0,∴-2π3≤x2-π6≤-π6.(2)求f(x)在[-π,0]上的最值.123456∴当x2-π6∈-2π3,-π2,即x∈-π,-2π3时,f(x)单调递减,当x2-π6∈-π2,-π6,即x∈-2π3,0时,f(x)单调递增,∴f(x)min=f-2π3=-3,又f(0)=-32,f(-π)=-32,1234562.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的图象过点Pπ12,0,图象上与P点最近的一个最高点坐标为π3,6.(1)求函数f(x)的解析式;所以x的取值范围为xkπ-π2xkπ+π6,k∈Z.123456解6sin2x-π63,即sin2x-π612,(2)若f(x)3,求x的取值范围.在区间-3π2,π2中,要使sin2x-π612,则-7π62x-π6π6,所以-7π6+2kπ2x-π6π6+2kπ,k∈Z,解得kπ-π2xkπ+π6,k∈Z.1234563.已知点P(3,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)=OP→·QP→.(1)求函数f(x)的最小正周期;解由已知,得OP→=(3,1),QP→=(3-cosx,1-sinx),所以f(x)=OP→·QP→=3-3cosx+1-sinx=4-2sinx+π3,所以函数f(x)的最小正周期为2π.△ABC的周长取得最大值,最大值为3+23.123456解因为f(A)=4,所以sinA+π3=0,(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值.又0Aπ,所以π3A+π34π3,A=2π3.因为BC=3,所以由正弦定理,得AC=23sinB,AB=23sinC,所以△ABC的周长为3+23sinB+23sinC=3+23sinB+23sinπ3-B=3+23sinB+π3.因为0Bπ3,所以π3B+π32π3,所以当B+π3=π2,即B=π6时,4.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC-b-c=0.3123456(1)求A;123456(2)若AD为BC边上的中线,cosB=17,AD=1292,求△ABC的面积.技能提升练1234565.(2018·江苏省南京市溧水高级中学模拟)如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A,B两个报名点,满足A,B,C中任意两点间的距离为10km.公司拟按以下思路运作:先将A,B两处游客分别乘车集中到A,B之间的中转点D处(点D异于A,B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2a元,游轮每千米耗费12a元(其中a是正数).设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元.=603-40sin2π3-αsinαa+80a=203·3-cosαsinαa+60aπ3α2π3.123456解由题意知在△ACD中,∠CAD=π3,∠CDA=α,(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;AC=10,∠ACD=2π3-α.由正弦定理知CDsinπ3=ADsin2π3-α=10sinα,即CD=53sinα,AD=10sin2π3-αsinα,所以S=4aAD+8aBD+12aCD=(12CD-4AD+80)a123456(2)问:中转点D距离A处多远时,S最小?拓展冲刺练1234566.已知函数f(x)=cos2ωx+3sin2ωx+t(ω0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4,图象过点(0,0).(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间;123456(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若函数F(x)=g(x)+k在区间0,π2上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 高考专题突破二 高考中的三角函
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