（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换（第

第2课时简单的三角恒等变换第四章§4.5简单的三角恒等变换NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1题型分类深度剖析PARTONE题型一三角函数式的化简自主演练1.化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.22cosα解析原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.2.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.12cos2x解析原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.3.化简：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β).解原式＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋α＋β]－2sinαcosα＋βsinα＝sinαcosα＋β＋cosαsinα＋β－2sinαcosα＋βsinα＝cosαsinα＋β－sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.题型二三角函数的求值多维探究例1(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝_____.命题点1给角求值与给值求值6解析原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.(2)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝________.4－3310(3)已知cosπ4＋α＝35，17π12α7π4，则sin2α＋2sin2α1－tanα的值为________.－2875例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为_____.命题点2给值求角7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为_____.－3π4本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β＝____.引申探究π4解析∵α，β为锐角，∴cosα＝255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又0α＋βπ，∴α＋β＝π4.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.跟踪训练1(1)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.268(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝_____.π4解析因为α，β均为锐角，所以－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.题型三三角恒等变换的应用师生共研例3已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值；解由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12＝2.(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z).思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.a2＋b2跟踪训练2已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3).(1)求sin2α－tanα的值；解∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域.解∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，∵0≤x≤2π3，∴－π6≤2x－π6≤7π6.∴－12≤sin2x－π6≤1，∴－2≤2sin2x－π6－1≤1，故函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域是[－2,1].思想方法SIXIANGFANGFA化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决.a2＋b2例已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；解f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解因为x∈－π4，π4，所以2x－π3∈－5π6，π6，由y＝sinx的图象可知，当2x－π3∈－5π6，－π2，即x∈－π4，－π12时，f(x)单调递减；当2x－π3∈－π2，π6，即x∈－π12，π4时，f(x)单调递增.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.2课时作业PARTTWO1.若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝_____.基础保分练12345678910111213141516－78解析cosπ3＋2α＝cosπ－23π－2α＝－cos23π－2α＝－1－2sin2π3－α＝－1－2×142＝－78.12345678910111213141516解析原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°2.4cos50°－tan40°＝_____.3＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.123456789101112131415163.已知sin2α＝35π22απ，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝_____.－2解析由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tanα－β1＋tan2αtanα－β＝－2.方法二tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.123456789101112131415164.(2017·江苏)若tanα－π4＝16，则tanα＝_____.75解析方法一∵tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝tanα－11＋tanα＝16，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝75.123456789101112131415165.若cosπ4－α＝35，则sin2α＝_____.－725解析由cosπ4－α＝35，可得22cosα＋22sinα＝35，两边平方得12(1＋2sinαcosα)＝925，∴sin2α＝－725.123456789101112131415166.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，则cos2α＋π3＝________.2－156解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝23，又α∈0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝1－cos22α＝53，∴cos2α＋π3＝12cos2α－32sin2α＝12×23－32×53＝2－156.123456789101112131415167.函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于____.92解析由题意知f(x)＝32sinx＋4×1＋cosx2＝32sinx＋2cosx＋2＝52sin(x＋φ)＋2，其中cosφ＝35，sinφ＝45，∵x∈R，∴f(x)max＝52＋2＝92.因为0Aπ，所以A＝π4.123456789101112131415168.在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosBcosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为_____.π4解析由题意知，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC，在等式－2cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，即t