（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间角的计算课件

§8.6空间角的计算第八章立体几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则ZHISHISHULIl1与l2所成的角θa与b的夹角β范围0，π2[0，π]求法cosθ＝_____cosβ＝a·b|a||b||a·b||a||b|2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.|a·n||a||n|3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝___________.〈AB→，CD→〉(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cos〈n1，n2〉|1.利用空间向量如何求线段长度？【概念方法微思考】提示利用|AB→|2＝AB→·AB→可以求空间中有向线段的长度.2.怎样确定两平面法向量夹角和二面角相等还是互补？提示当一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部时，二面角与两个平面的法向量夹角相等；当两个法向量同时指向二面角的内部或外部时，两个法向量的夹角与二面角互补.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析×××√123456(3)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π].()(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.()123456∴〈a，b〉＝135°，∵异面直线所成角的范围是(0°，90°]，∴异面直线l1和l2所成的角是45°.2.[P111T1]设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，且cos〈a，b〉＝－22，则异面直线l1和l2所成的角为_____.45°解析∵cos〈a，b〉＝－22，3.[P111T2]若直线l的方向向量为a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量为n＝(1,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于____.123456714解析∵cos〈a，n〉＝－2，3，1·1，0，1－22＋32＋12×12＋02＋12＝－714，∴直线l与平面α所成角的正弦值sinθ＝|cos〈a·n〉|＝714.1234564.[P114T12(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为___.π61234565.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为_____.3010题组三易错自纠6.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的角为____.12345645°2题型分类深度剖析PARTTWO题型一求异面直线所成的角例1如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；师生共研(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.跟踪训练1三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为___.710例2(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；题型二求直线与平面所成的角师生共研证明由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.思维升华若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sinθ＝|cosβ|＝|l·n||l||n|.跟踪训练2(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；2(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.题型三求二面角师生共研例3(2018·江苏泰州中学摸底)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝λ(λ∈R).(1)证明：PN⊥AM；A1P—→A1B1——→(2)若平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°，试确定点P的位置.思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.跟踪训练3(2018·南通模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.(1)求AA1的长；(2)若BP＝1，求二面角P－A1C－A的余弦值.答题模板DATIMUBAN利用空间向量求解空间角例(14分)(2018·苏州调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC的边长为2，侧棱长为4，M是线段AA1上一点，O是线段BC的中点，D为B1C1的中点，以{OB—→，OD—→，OA—→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.(2)若二面角M－BC1－B1的正弦值为154，求AM的长.(1)若AM＝MA1，求直线B1C1和平面BMC1所成角的正弦值；3课时作业PARTTHREE基础保分练1234567891011121314151660°或120°1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1,0)，n＝(0,1，－1)，则两平面所成的二面角为__________.解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－12·2＝－12，即〈m，n〉＝120°.∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°.123456789101112131415162.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为_____.可得向量AB1—→＝(－2,2,1)，BC1—→＝(0,2，－1)，55解析设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1—→，BC1—→〉＝AB1—→·BC1—→|AB1—→||BC1—→|＝0＋4－14＋4＋1×0＋4＋1＝15＝55.123456789101112131415163.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为____.23123456789101112131415164.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为___.∴AC—→＝(1,1,0)，B1D—→＝(－1,1，－1)，π2解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).∵AC—→·B1D—→＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC—→⊥B1D—→，∴AC与B1D所成角的大小为π2.123456789101112131415165.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为____.14123456789101112131415166.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1,2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cosθ＝____.解析由题意可知，平面ABO的一个法向量为OC—→＝(0,0,2)，23OC—→由图可知，二面角C－AB－O为锐角，由空间向量的结论可知，cosθ＝|OC→·n||OC→||n|＝|4|2×3＝23.123456789101112131415167.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为____.55123456789101112131415168.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为____.2451234567891011121314151660°9.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是_____.1234567891011121314151610.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为____.231234567891011121314151611.(2018·盐城期末)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，点M是BC的中点.(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值；12345678910111213141516(2)求直线AC1与平面A1DM所成角的正弦值.1234567891011121314151612.(2018·江苏省南京外国语学校期末)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD.(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值；212345678910111213141516(2)求二面角A－DF－B的大小.解平面ADF的法向量为m＝CD—→＝(2，0,0).设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z).又BF—→＝(2，0,1).由n·DF—→＝0，n·BF—→＝0，得2y＋z＝0，2x＋z＝0，取x＝1，则y＝1，z＝－2，所以n＝(1,1，－2)，所以cos〈m，n〉＝24·2＝12.又因为〈m，n〉∈[0，π]，所以〈m，n〉＝π3.所以二面角A－DF－B的大小为π3.技能提升练1234567891011121314151613.如图