（江苏专版）2020年中考数学复习 第四单元 三角形 第20课时 直角三角形与勾股定理课件

第20课时直角三角形与勾股定理定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的③(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的④判定(1)两个内角⑤的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点一直角三角形的概念、性质与判定考点聚焦直角互余一半互余一半（续表）常见结论(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)Rt△ABC内切圆半径r=𝑎+𝑏-𝑐2,外接圆半径R=𝑐2,即等于斜边的一半,其中a,b为两直角边,c为斜边勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即⑥勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是⑦三角形勾股数满足关系式a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数考点二勾股定理及逆定理a2+b2=c2直角互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的⑧是第二个命题的结论,而第一个命题的⑨又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.互逆命题(1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题.(2)原命题成立,其逆命题不一定成立互逆定理若一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理考点三互逆命题及互逆定理条件结论定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为⑩错误的命题称为⑪组成命题一般都由⑫和⑬两个部分组成定理根据已知的真命题,确定某个命题真实性的过程叫做⑭.经过证明的真命题称为定理推论由一个定理直接推出的正确结论,叫做这个定理的推论,它和定理一样,可以作为进一步证明的依据考点四命题、定义、定理、公理真命题假命题条件结论证明题组一必会题对点演练1.[2018·滨州]在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.8A2.[2019·毕节]如图20-1,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为()A.3B.3C.5D.5图20-1B[答案]B[解析]∵152+82=289,172=289,∴152+82=172,∴15,17,8能组成直角三角形,故选B.3.[八上P90复习题第1题改编]下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.15,17,8C.2,3,4D.1,2,3[答案]54.[八下P88习题第1题改编]已知:如图20-2,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.若CE=5,则DF的长为.图20-2[解析]根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得CE=DF=12AB.在△ABC中,∵∠ACB=90°,E是AB的中点,∴CE=12AB.∵D,F分别是AC,BC的中点,∴DF是△ABC的中位线.∴DF=12AB.∴CE=DF.故DF=5.[答案]1.6[解析]连接AD,由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=BD=5-x,又已知AC=3,由勾股定理得CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6.故答案为1.6.5.[2018·淮安]如图20-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.图20-3题组二易错题【失分点】忽视直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要条件;运用勾股定理确定边长时忽视分类讨论造成漏解.[答案]C6.[2018·黄冈]如图20-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.23图20-4[解析]在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=12AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD=𝐶𝐸2-𝐷𝐸2=4,故选C.[答案]90°或130°[解析]情况1:当∠ADB=90°时,∠ADC=90°;情况2:当∠BAD=90°时,∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°-100°)÷2=130°.7.[2018·哈尔滨]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.[答案]1或98.[2018·云南]在△ABC中,AB=34,AC=5.若BC边上的高等于3,则BC边的长为.[解析]设BC边上的高为AD.当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图①所示,在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=𝐴𝐵2-𝐴𝐷2=(34)2-32=5,在Rt△ACD中,由勾股定理得CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=52-32=4,所以BC=5+4=9.当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图②所示,同理BD=5,CD=4,所以BC=5-4=1.考向一直角三角形的性质例1[2019·株洲]如图20-5所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB=.图20-5[答案]4[解析]因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,所以AB=2CM,又因为E,F分别为MB,BC的中点,所以EF为中位线,所以CM=2EF,从而AB=4EF=4.例2如图20-6所示,AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,G是AB的中点,GF⊥DE,求证:DF=FE.图20-6证明:连接DG,GE.∵AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,∴∠ADB=∠AEB=90°.∵G是AB的中点,∴DG=12AB,GE=12AB,∴DG=GE.∵GF⊥DE,∴DF=FE.【方法点析】在直角三角形中,有斜边中点时常连接直角顶点与斜边上的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证题.1.如图20-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为()A.1B.2C.3D.4|考向精练|图20-7[答案]A[解析]由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,再由直角三角形的性质求解.∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=12BD.∵BC=3,∴CD=DE=1.故选A.2.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图20-8所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=.图20-8[答案]6−2[解析]在等腰直角三角形ABC中,∵AB=2,∴BC=22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM=MC=12BC=2,在Rt△AMD中,AD=BC=22,AM=2,∴MD=6,∴CD=MD-MC=6−2.考向二勾股定理及逆定理的运用微专题角度1勾股定理的运用图20-9例3在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.图20-10解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得:AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.角度2勾股定理逆定理的运用例4[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形[答案]B[解析]如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,故选:B.|考向精练|1.如果直角三角形的三条边长分别为2,4,a,那么a的取值可以有()A.0个B.1个C.2个D.3个[答案]C[解析]∵题中没有规定哪条边为斜边,∴a2=42+22或a2=42-22,且a0,∴有两解,故选C.2.数学文化勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图20-11,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和图20-11[答案]C[解析]如图,设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a,由勾股定理得,c2=a2+b2,阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的一边长为a-(c-b),另一边长为a,则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积,故选C.3.[2019·巴中]如图20-12,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC=.图20-12[答案]163+24[解析]将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'是等边三角形,其边BP为8,所以S△BPP'=163,因为PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以PP'2+P'C2=PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C=24,所以S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=163+24.4.如图20-13,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C’处,BC’交AD于点E,则线段DE的长为.图20-13[解析]设ED=x,则AE=6-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC.由题意得∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.由勾股定理得BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得x=154,∴ED=154.[答案]1545.[2019·宿迁]如图20-14,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是.图20-14[解析]如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2.在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,∴∠ABC1=30°,∴AC1=12AB=1,由勾股定理得:BC1=3.在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°,∴∠AC2B=30°,∴AC2=4,由勾股定理得:BC2=23.当△ABC是锐角三角形时,点C在C1C2(不与点C1,C2重合)上移动,此时3BC23.故答案为:3BC23.[答案]3BC236.[2018·荆门]如图20-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图