（江苏专版）2020年中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形课件

第19课时等腰三角形定义有①相等的三角形是等腰三角形,相等的两边叫腰,第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,有②条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为③)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“④”考点一等腰三角形的概念与性质考点聚焦两边1等边对等角三线合一（续表）常见结论(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高考点二等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成⑤)常见结论(1)一边上的高与这条边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这条边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这条边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边考点三等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都⑥,并且每—个角都等于⑦等边三角形是轴对称图形,有⑧条对称轴判定(1)三个角都⑨的三角形是等边三角形(2)有一个角等于⑩的等腰三角形是等边三角形相等60°3相等60°题组一必会题对点演练1.[八上P66习题第1(3)题改编]已知一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为.17[答案]50°,80°或65°,65°[解析]需要把已知的50°的角分成顶角和底角两种情况讨论求解.2.[八上P62练习第2(4)题改编]在△ABC中,AB=AC,如果有一个角是50°,那么另两个角的度数分别是.[答案]70°[解析]∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC,∴AC=CD,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°.3.[2018·青海]如图19-1,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△DEC,连接AD.若∠BAC=25°,则∠BAD=.图19-1题组二易错题【失分点】在等腰三角形中,当已知某条边长,求另外两条边长时需要分类讨论腰和底;当已知某个角的度数,求另两个角时需要分类讨论顶角和底角,否则容易造成漏解.[答案]32[解析]由题意知,应分两种情况:(1)当腰长为6cm时,三角形三边长分别为6cm,6cm,13cm,6+613,不能构成三角形;(2)当腰长为13cm时,三角形三边长分别为6cm,13cm,13cm,周长=2×13+6=32(cm).故答案为32.4.[2019·广安]等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm.[答案]4[解析]作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.5.[2019·徐州]函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个.6.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰三角形ABC的底角的度数为.[答案]15°或45°或75°[解析]分情况讨论:(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;(2)当∠ABC为底角,∠BAC为锐角时,如图②,BD=12AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;(3)当∠ABC为底角,∠BAC为钝角时,如图③,BD=12AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,则∠ABC=15°。所以△ABC的底角的度数为45°或75°或15°.考向一等腰三角形的性质例1如图19-2,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=40°,求∠B和∠C的度数.图19-2解:在△ABD中,AB=AD,∠BAD=40°,∴∠B=∠ADB=180°-∠𝐵𝐴𝐷2=70°.在△ACD中,AD=DC,∴∠C=∠DAC.又∵∠ADB=∠C+∠DAC,∴2∠C=∠ADB,∴∠C=70°2=35°.1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°|考向精练|图19-3[答案]B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.2.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图19-4①所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°图19-4[答案]D[解析]因为OC=CD=DE,所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O,∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为.图19-5[答案]34°[解析]根据题意可得BA=BD.∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°,∠C=36°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°,故答案为34°.考向二等腰三角形的判定例2如图19-6,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.图19-6解:(1)①②;①③.例2如图19-6,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.图19-6(2)选①②证明如下:在△BOE和△COD中,∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.【方法点析】要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有:(1)通过等角对等边得两边相等;(2)通过三角形全等得到两边相等;(3)利用垂直平分线的性质得两边相等.|考向精练|1.如图19-7,△ABC的面积为1cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm2[答案]B图19-7[解析]延长AP交BC于E,∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P,∴∠ABP=∠EBP,∠APB=∠EPB=90°,又BP=BP,∴△ABP≌△EBP,∴S△ABP=S△EBP,AP=PE,∴△APC和△CPE等底同高,∴S△APC=S△PCE,∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=12S△ABC=0.5(cm2),故选:B.2.[2018·桂林]如图19-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是.[答案]3图19-8[解析]∵∠A=36°,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠C=72°,又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°,∴∠BDC=∠C=72°,∴△BCD是等腰三角形,又∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形.故有3个等腰三角形.3.[2019·无锡]如图19-9,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD相交于点O.求证:(1)△DBC≌△ECB;(2)OB=OC.图19-9证明:(1)∵AB=AC,∴∠ECB=∠DBC,在△DBC与△ECB中,𝐵𝐷=𝐶𝐸,∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝐵,𝐵𝐶=𝐶𝐵,∴△DBC≌△ECB(SAS).(2)由(1)知△DBC≌△ECB,∴∠DCB=∠EBC,∴OB=OC.考向三等腰三角形的多解问题[答案]B[解析]根据两个非负数的和为0,则各自为0,可知m-2=0,n-4=0.∴m=2,n=4.根据三角形中任意两边之和大于第三边,可知三条边长分别是2,4,4,∴周长是10.故选B.例3[2018·宿迁]若实数m,n满足等式|m-2|+𝑛-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是()A.12B.10C.8D.6【方法点析】等腰三角形边、角关系中的陷阱等腰三角形是一类比较特殊的三角形,命题人常利用等腰三角形“无图多解”的特点设置“陷阱”,来考查学生分析问题的严密性和全面性.解答这类问题时,如果题中没有明确说明边是腰还是底、角是顶角还是底角,那么应对其进行分类讨论,有时三角形本身也要分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形进行讨论,切勿受思维定式的影响而掉入“陷阱”,出现漏解的现象.|考向精练|1.若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为()A.9B.12C.7或9D.9或12B2.[2018·绥化]已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为.[答案]50°或80°[解析]当等腰三角形顶角的邻补角为130°时,顶角为180°-130°=50°;当等腰三角形底角的邻补角为130°时,顶角为180°-2(180°-130°)=80°.故答案为50°或80°.3.[2019·武威]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=.[答案]85或14[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:180°-80°2=50°,∴特征值k=80°50°=85;②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,∴特征值k=20°80°=14.故答案为85或14.考向四等边三角形的性质与判定例4[2019·天水]如图19-10,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,3)[答案]B[解析]过点B作BH⊥AO于H点,∵△OAB是等边三角形,∴OH=1,BH=3.∴点B的坐标为(1,3).故选:B.图19-10例5已知:如图19-11,△ABC,△ADE都是等边三角形.求证:∠ABD=∠ACE.图19-11证明:∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∵∠1+∠3=60°,∠2+∠3=60°,∴∠1+∠3=∠2+∠3,∴∠1=∠2.在△ABD和△ACE中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠1=∠2,𝐴𝐷=𝐴𝐸,∴△ABD≌△ACE.∴∠ABD=∠ACE.【方法点析】这类题虽然题设中没有直接给出全等条件,等边三角形的性质实际上给出了两个三角形的两边对应相等.对于证明这两边的夹角相等,可采用相等角减去同一个角或相等角加上同一个角的方法来证.|考向精练|1.[2019·宜宾]如图19-12,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF的两边与三角形ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.3