（江苏专版）2020年中考数学复习 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件

第18课时全等三角形全等图形能够完全①的图形叫做全等图形,两个图形全等,它们②相同、③相同全等三角形两个能完全④的三角形叫做全等三角形考点一全等图形及全等三角形考点聚焦重合形状大小重合性质1全等三角形的对应边⑤性质2全等三角形的对应角⑥常见结论全等三角形的对应边上的高⑦全等三角形的对应边上的中线⑧全等三角形的对应角平分线⑨考点二全等三角形的性质相等相等相等相等相等对应相等元素三角形是否全等一般三角形两边一角两边及其⑩全等(SAS)两边及其中一边的不一定全等两角一边两角及其夹边全等(ASA)两角及其中一角的全等(AAS)三角不一定全等三边全等(SSS)直角三角形斜边、直角边全等(HL)考点三全等三角形的判定夹角对角1.全等三角形的判定定理对边2.常见结论(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等;(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等;(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等;(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等.3.基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形,全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的,所以全等三角形的基本图形大致有以下几种:(1)平移型如图18-1的图形属于平移型,它们可看成由对应边在一直线上移动所构成的,故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差得到.图18-1(2)对称型如图18-2,下面几种图形属于对称型:它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.(3)旋转型如图18-3,下面几种图形属于旋转型:它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的,故一般有一对相等的角隐含在对顶角中或某些角的和差中.图18-2图18-34.在判定三角形全等时,还要注意的问题(1)根据已知条件与结论认真分析图形;(2)准确无误地确定每个三角形的六个元素;(3)根据已知条件,确定对应元素,即找出相等的角或边;(4)对照判定方法,看看还需什么条件两个三角形就全等;(5)想办法找出所需的条件.考点四三角形的稳定性和四边形的不稳定性三角形的稳定性如果一个三角形三边的长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性四边形的不稳定性当一个四边形四边的长度确定时,这个四边形的形状、大小不唯一确定.四边形的这个性质叫做四边形的不稳定性考点五角平分线的性质与判定性质角平分线上的点到角两边的⑬相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的⑭上距离平分线考点六线段的垂直平分线定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离⑮判定到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的⑯上相等垂直平分线题组一必会题对点演练1.[2018·巴中]下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙B图18-4[答案]C[解析]添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;添加∠BCA=∠DCA,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意.故选C.2.[八上P14例1改编]如图18-5,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是()A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°图18-5图18-63.[八上P29练习第2题改编]如图18-6,AC⊥CB,AD⊥DB,要证明△ABC≌△ABD,还需要条件.(填出一个即可)AD=AC(或BD=BC或∠DAB=∠CAB或∠DBA=∠CBA,答案不唯一)[答案]64.[八上P21讨论第2题改编]如图18-7,点C,F在AD上,且AF=DC,∠B=∠E,∠A=∠D,AB=6,则DE=.图18-7[解析]∵AF=DC,∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF.在△ABC和△DEF中,∠𝐵=∠𝐸,∠𝐴=∠𝐷,𝐴𝐶=𝐷𝐹,∴△ABC≌△DEF(AAS),∴DE=AB=6.题组二易错题【失分点】全等三角形的性质运用不当;全等三角形的判定混淆.5.[2018·成都]如图18-8,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DCC图18-86.[2019·临沂]如图18-9,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2图18-9B考向一全等三角形的性质与判定例1[2019·苏州]如图18-10,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.图18-10解:(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.例1[2019·苏州]如图18-10,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.图18-10(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角,∠ACB=28°,∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.【方法点析】证明两个三角形全等的注意事项:(1)在正规考试中,有时候判卷老师看得很快,可能只会找关键的得分点,所以最好写上在“△※※※和△※※※中”,这样写判卷老师更容易发现证明思路,方便给分.(2)要按全等判定的顺序写,比如用“SAS”证明,必须把“A”写在两边中间.1.[2018·龙东地区]如图18-11,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为()A.15B.12.5C.14.5D.17|考向精练|图18-11B2.[2019·南京]如图18-12,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:△ADF≌△CEF.证明:∵DE∥BC,CE∥AB,∴四边形DBCE是平行四边形,∴BD=CE.∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=EC.∵CE∥AD,∴∠A=∠ECF,∠ADF=∠E,∴△ADF≌△CEF(ASA).图18-123.[2019·桂林]如图18-13,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)求证:BE=DE.图18-13证明:(1)在△ABC与△ADC中,𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐴𝐶=𝐴𝐶,𝐵𝐶=𝐷𝐶,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,即AC平分∠BAD.(2)由(1)得∠BAE=∠DAE,在△BAE与△DAE中,𝐵𝐴=𝐷𝐴,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐸,∴△BAE≌△DAE(SAS),∴BE=DE.4.如图18-14,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,求证:BE=DC.图18-14证明:由题意知∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠BCE=∠CAD.在△CBE与△ACD中,∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°,∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐴𝐷,𝐵𝐶=𝐴𝐶,∴△CBE≌△ACD(AAS).∴BE=DC.考向二全等三角形的开放性问题例2[2018·金华、丽水]如图18-15,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是.图18-15答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等|考向精练|1.[2019·齐齐哈尔]如图18-16,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)[答案]AB=DE(或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF)[解析]由已知证明两三角形全等的条件已经具有一边一角对应相等,需要添加的条件可以是夹已知角的边,构造SAS全等,也可以添加另外的任一组角构造ASA或AAS,或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.图18-16解:添加条件:BE=DF或DE=BF或AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED=∠CFB或∠BAE=∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.选择BE=DF进行证明.证明:在矩形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.2.[2019·嘉兴]如图18-17,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”成立,并加以证明.图18-17考向三角平分线与线段垂直平分线的性质例3如图18-18,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是()A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD[答案]B图18-18[解析]∵OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,∴PC=PD,故选项A正确;在Rt△OCP与Rt△ODP中,𝑂𝑃=𝑂𝑃,𝑃𝐶=𝑃𝐷,∴Rt△OCP≌Rt△ODP,∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故选项C,D正确.不能得出∠CPO=∠DOP,故选项B错误.故选B.例4[2019·南京]如图18-19,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为.图18-19[答案]10[解析]∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,∴CD=BD=3,∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=∠B,∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶,∴AC2=AD×AB=2×5=10,∴AC=10.故答案为:10|考向精练|如图18-20,AB平分∠CAD,∠ACB+∠ADB=180°,求证:BC=BD.证明:在AD上截取AE,使得AE=AC,连接BE.∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠EAB.∵AB=AB,∴△ACB≌△AEB,∴BC=BE,∠ACB=∠AEB.∵∠ACB+∠ADB=180°,∠AEB+∠BED=180°,∴∠ADB=∠BED,∴BE=BD.∴BC=BD.图18-20考向四全等三角形的实际应用例5课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图18-21.(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)图18-21解:(1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,在△ADC和△CEB中,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵,∠