《数学三角函数》PPT课件

【知识与技能】1．了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；2．掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系；3．掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值．教学目标【过程与方法】1．通过经历三角函数概念的形成过程,丰富自己的数学活动经验；2．渗透数形结合的数学思想方法．【情感态度与价值观】1．感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历；2．培养主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神．重点：锐角三角函数的概念．难点：锐角三角函数概念的形成．教学重难点在Rt△ABC中,∠C＝90°．当∠A＝30°时,当∠A＝45°时,12ABCAB的对边斜边ABC2AB2的对边斜边固定值固定值归纳正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA即caAA斜边的对边sin2130sinsinA2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c对边知识要点对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？想一想Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3所以＝__________＝__________．观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的邻边与斜边、∠A的对边与邻边之间有什么关系？＝__________＝__________．BCAC111BCAC222BCAC333ACAB11ACAB22ACAB33在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．归纳ABC对边斜边邻边cab在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边一个角的余弦表示定值、比值、正值．知识要点余弦在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即AatanAAb的对边的邻边一个角的余切表示定值、比值、正值．知识要点正切锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切、都叫做∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）知识要点1．sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．2．sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）．3．sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．归纳tan30°=?33ABC┌锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？tan45°=tan60°=??13当两角互余时，这两角的正弦和余弦有怎样的关系？正切呢？sinA=cosBcosA=sinBtanA=tanBABC┌ABC30°123sin30°=cos30°=tan30°=123332┓ABC45°11sin45°=cos45°=tan45°=221222┓ACB60°12sin60°=cos60°=tan60°=331232┓30°45°60°sinαcosαtanα1222121223232333特殊角的三角函数值表自变量α的取值范围是：各因变量的取值范围是：0°＜α＜90°正弦0＜sinα＜1余弦0＜cosα＜1正切tanα0余切cotα0根据上面表格，思考以下问题：各个函数值随着自变量α的增大而怎样变化？tanα与cotα有怎样的关系？sinα、tanα随着自变量α的增大而增大cosα、cotα随着自变量α的增大而减小tanα•cotα=1【例3】求下列各式的值：()cossincos()cotsin221304530245602222325(1)3045;224cossin3033(2)4510.6022coscotsin解：2230303030表示(即:(coscos),cos)(cos)(1)sin60°+cos45°;(2)sin230°+cos245°+tan60°．解:(1)sin30°+cos45°32222231122(2)sin260°+cos260°-cot45°31144322.0.小练习如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？(1)已知，则∠A＝________;sinA12(2)已知，则∠B＝________;cosB12(3)已知，则∠C＝________;tanC3(4)已知，则∠D＝________;cotD3330°60°60°30°探究由锐角的三角函数值反求锐角∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=12sinA12cosA33tanA3032sinA6022cosA303tanA22sinA32cosA1tanA45归纳4545306060【例4】如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m)．∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m．∠AODOD=2.5m,160302,解:如图,根据题意可知,30OCcos,OD∴AC=2.5-2.165≈0.34(m)．3cos302.52.165().2OCODm┓OBADC┓OBADC如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．求证:sin2A+cos2A=1．证明：222222222222sin,cos,sincos()()sincos22222abAAccababAAcccABCa+b=ca+bcAA1cc三角形∴是直角三角形，小练习bABCac┏如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=17°，那么缆车垂直上升的距离是多少?解：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin17°．你知道sin17°等于多少吗?用科学计算器求锐角的三角函数值：sincostan用计算器求sin18°，cos53°，tan72°,cot65°和sin72°38′25″的三角函数．按键的顺序显示结果sin18°cos53°tan72°cot62°sin72°38′25″sin18°′″0.309016994cos53°′″0.601815023tan72°′″3.732050808sin72°′″38°′″25°′″0.954450312====cot62°′″=0.531709432用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位．本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位．所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离：BC=ABsin17°≈200×0.2924≈58.48（m）．如图，为了方便行人，市政府在10m高的天桥．两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少?如图，在Rt△ABC中,101sin.404BCAAC∠A是多少度?ABC40m10m如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度．解:如图，在Rt△ABC中，AC=6.3cm，BC=9.8cm．AC.tanB..BC.630642998∴∠B≈32°44′13″．因此，射线的入射角度约为32°44′13″．小练习已知三角函数值求角度,要用到三个键,和第二功能键和．sincostan按键的顺序显示结果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.78shiftsin-10．sin-1=0.9816=78.99184039shiftcos-10．cos-1=0.8607=30.60473007shifttan-10．tan-1=0.1890=10.70265749shifttan-156．78tan-1=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-1shift816=607=890=上表的显示结果是以度为单位的,再按键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果．dms根据下列条件计算器求∠θ的大小:(1)tanθ=2.9888;(2)sinθ=0.3957;(3)cosθ=0.7850;(4)tanθ=0.8972．小练习71.5°23.3°38.3°41.9°1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数，统称为锐角∠A的三角函数．2．30°、45°、60°角的三角函数值．3．锐角α的三角函数值的取值范围．4．三角函数的增减性：正弦0＜sinα＜1正切tanα0余弦0＜cosα＜1余切cotα0sinα、tanα随着自变量α的增大而增大cosα、cotα随着自变量α的增大而减小课堂小结tanα•cot（90°-α）=1sin2α+cos2（90°-α）=1sinα=cos（90°-α）cosα=sin（90°-α）tanα=cot（90°-α）cotα=tan（90°-α）5．三角函数的几个重要关系式1．当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A（）3A．小于30°B．大于30°C．小于60°D．大于60°D随堂练习2．当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A（）A．小于30°B．大于30°C．小于60°D．大于60°D333.当∠A为锐角，且cosA=那么（）15A．0°＜∠A≤30°B．30°＜∠A≤45°C．45°＜∠A≤60°D．60°＜∠A≤90°D4．当锐角A45°时，sinA的值（）A．小于B．大于C．小于D．大于22223232BA．小于B．大于C．小于D．大于121232325．当锐角A30°时，cotA的值（）C6．计算：(1)2sin30°+3cos30°+cot45°(2)cos230°+tan60°sin30°603034530oooocossincossin（）304456030）costansincot（332233420332∴3cosA=7．已知3tanA—=0,求锐角A的度数．3解：3tanA－=033∴cosA=∴∠A=60°338．求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．2228917ABBCAC解：∵∴sinA=817BCABcosA=tanA=cotA=1517ACAB815BCAC158ACBC17158CBA9．如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是，求：（1）y的值；（2）∠a的正弦值．43（1）y=4（2）sina=45●OxyP(3，y)α1.（1）sinA=，cosA=，tanA=，sinB=，cosA=，tanB=，132232422313222.确定.因为一个锐角确定的直角三角形都相似.习题答案