高考数学双曲线-椭圆仿射变换

仿射变换与双曲线的标准方程22221xyab相比椭圆的标准方程22221xyab在形式上极为接近圆的标准方程222xyr．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221xyab，我们需要在y轴进行伸缩变换xxbyya得到方程22221xyaa．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（AffineTransform）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1xyEab变为圆222:Exya，椭圆上的点00,Pxy变为00,aPxyb，因此过圆E上一点P的圆的切线方程为:l200axxyyab该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E上一点P的椭圆的切线方程22002:alxxyyab即00221xxyyab下面是仿射变换前后一些常用量的对应关系：变换前变换后方程22221xyab222xya横坐标xxx纵坐标yayyb斜率ykxykxayabkxb面积12Sxy12aSxySb典型例题弦长21lkx222211alkxkxb222211akblk不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比；例1（2010年上海）已知椭圆的方程为22221xyab（0ab），点P的坐标为,ab．⑴设直线1l：1ykxp交椭圆于C、D两点，交直线2l：2ykx于点E．若2122bkka，证明：E为CD的中点；⑵对于椭圆上的点cos,sinQab（0π），如果椭圆上存在不同的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ，写出求作点1P、2P的步骤．EDCOyx【解析】⑴作仿射变换，椭圆方程变为222xya，则121kk∴CDOE，根据垂径定理，E是弦CD的中点于是E是CD的中点．⑵如下图，求作点1P、2P的步骤为：NN'Q'P2'P1'P'θxOyP2P1PQ1．以O为圆心，椭圆的长轴长a为半径作圆；2．过O作射线，使Ox轴正方向到该射线的角为，射线与圆交于Q；3．过圆与y轴正向的交点作y轴的垂线，过圆与x轴负向的交点作x轴的垂线，两条垂线交于点P；4．连结PQ，取其中点N；认识仿射变换5．连结ON，过N作与ON垂直的直线，交圆于点1P、2P；6．过点1P、2P作x轴的垂线，交椭圆于点1P、2P即为所求．证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22byya，容易证明线段PQ与12PP互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ与12PP互相平分．这样就有12121222PQPNPPPPPPPP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DMmDA（0m，且1m）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．yxOMDAOyxDAM【解析】曲线C的方程为2221yxm．当01m时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为21,0m；当1m时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为20,1m．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2（2012年人大附开学考试）已知直线l：ykxm交椭圆2213xy于不同的两点A、B．若坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB△面积的最大值．【解析】坐标原点O到直线l的距离为32，于是直线l是圆2234xy的切线．作仿射变换3xxyy，则直线l是椭圆22334yx即2213944xy的切线．设O到直线l的距离为d，23944d≤（∵直线l的斜率存在）211123233AOBAOBSSdd△△2213323dd≤利用仿射变换处理面积问题等号当且仅当232d时取得．因此AOB△面积的最大值为32．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162xy中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标3,1，AB所在直线的斜率为33．当ABC△的面积最大时，求直线AB的方程．OyxF2F1CBAB'A'C'Oyx【解析】将椭圆通过仿射变换13xxyy变成圆226xy，则3ABCABCSS△△，3313ABk，C坐标为3,3．∵直线OC∥直线AB，∴ABCOABSS△△设直线AB的方程为0xym，则O到直线AB的距离为2m，22262mAB2222126622222OABmmmmS△3≤∴当232m，即6m时OABS△取得最大值3，此时直线AB的方程为60xy．因此OABS△的最大值为3，此时AB的方程为360xy．练习3（2011年顺义二模）已知椭圆2214xy的左、右顶点分别记为A、B．过A斜率为1的直线交椭圆于另一点S，在椭圆C上的T满足：TSA△的面积为15．试确定点T的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12xxyy变成圆224xy，则225SATSATSS△△．AS：22yx，即240xy∴圆心到直线AS的距离为45，弦长22442255AS∴T到直线AS的距离为21514525由于1455，∴在优弧上存在两个T点又由于14255，∴在劣弧上不存在T点．综上，点T的个数也即点T的个数是2．练习4（2010年宣武一模文）直线:220lxy与椭圆2214yx的交点为A、B．求使PAB的面积为12的点P的个数；【解析】2．练习5（2011年西城二模）设直线l与椭圆2219xy交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC△面积的最大值．BCAyOxDxOyACB【解析】如图，将坐标系原点平移至C，则椭圆方程变为22319xy即22690xxy．设直线AB的方程为xmya，则联立直线方程与椭圆方程有22690xmyxxya，即266910ymyxaxa而12121yyxx，∴6910a，35a，因此35CD．将椭圆通过变换3xxyy变为圆229xy，则13ABCABCSS△△O(O')B'A'D(D')C(C')∵35CD，3OC，∴3153435ABCOABSCDSOD△△设O到AB的距离为d，22112322OABSABddd△229dd∴当且仅当29d时，OABS△取得最大值92于是13128ABCOABSS△△≤，即ABC△面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆1C的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆2C的短轴为MN，且1C、2C的离心率都为e．直线lMN，l与1C交于两点，与2C交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为,,,ABCD．⑴设12e，求BC与AD的比值；⑵当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN∥，并说明理由．ABCDOMNxylNMEDCBAyOx【解析】⑴设2MNa，则椭圆1C：2222211exyaa；椭圆2C：2222211exyaa；222221e31e41eaBCaAD．⑵对椭圆1C作仿射变换xx，21eyy，则1C：222xya；对椭圆2C作仿射变换xx，211eyy，则2C：222xya．2211e1eBOANEOENBOANkkkk∥211eEOENkk设点cos,sinEaa（0π），则sincosEOk，sincos1ENk利用仿射变换处理弦长问题∴设cos1cosEOENkyk，则cos1cosy，1cos1,11y因此,02,yBOAN∥2121e，∴当20e2≤时，不存在；当2e2时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：①利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；②利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题．例4（2011年重庆）已知椭圆22142xy．⑴（理科）设动点P满足：OPOMON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为12，问：是否存在两个1F、2F，使得12PFPF为定值？若存在，求1F、2F的坐标；若不存在，说明理由．⑵（文科）设动点P满足：2OPOMON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为12，问：是否存在点F，使得点P到点F的距离与到直线210x的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．Pxx=22yNMO【解析】作仿射变换，椭圆方程变为224xy，且OMON．（理科）四边形OMPN为正方形，于是OPMN22∴P点的轨迹方程为圆228xy，因此P点的轨迹方程为2228xy，即22184xy．∴存在符合题意的点1F、2F，坐标为2,0．（即椭圆的两个焦点）（文科）四边形OMPN为矩形，25OPMN∴P点的轨迹方程为圆2220xy，因此P点的轨迹方程为22220xy，即2212010xy．∴存在符合题意的点F，坐标为10,0．（即椭圆的右焦点）．练习1（2011年海淀一模）设直线:lykxm（12k≤）与椭圆22143xy相交于A、B两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求OP的取值范围．xyOABPP'PB'A'BAOyx【解析】用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB变为菱形OAPB，由12ABk≤得13ABk≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是3OPk≥，因此1Px≤．也就是说，1PPxx≤于是22222231344PPPPPxxOPxyx133,4因此OP的