高等数学课件1-4函数的极限

$1-4函数的极限2.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限(limitoffunction)$1-4函数的极限3;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.(approachesinfinitely)$1-4函数的极限4定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式Xx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim1、定义：$1-4函数的极限501.:x情形.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当02.:x情形Axfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2、另两种情形::lim()xfxA定理.)(lim)(limAxfAxfxx且$1-4函数的极限6注意：（1）,是任意小的正数它描述的与A)(xf接近程度；（2）是正实数，X与有关，.),(不唯一XXX(3)axAxfnnxlim)(lim是的推广.$1-4函数的极限7证明的方法：Axfx)(lim关键是对时，使当找出XxX,00.)(Axf恒有的求法：X),(Xx.)X(X即可取)(中解出从Axf(直接法或间接法)(directmethodorindirectmethod)$1-4函数的极限8xxysin3、几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxA(stripregion)$1-4函数的极限9xxysin例1(补充）.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sin要使x1,,0对,1X取恒有时则当,Xx,0sinxx.0sinlimxxx故:lim(),()xfxcycyfx如果则定义直线是函数的图形的只要即可，1x水平渐近线(horizontalasymptote).$1-4函数的极限10二、自变量趋向有限值时函数的极限若函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A，就说A是f(x)当xx。时的极限。0()xxfxA即充分小时，可任意小。例如：221()221xfxx即可任意小12221()1211,()1()21xfxxxxfxxfxx时，时虽在无定义，仍有012y=x+11211xyx$1-4函数的极限11;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx2201()2211εεxfxxεx任意小用字母刻划，，要使01(xεδδε只要叫），即可。$1-4函数的极限12定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当1、定义：$1-4函数的极限13定义.)()(,0,0,000时的极限当为，则称恒有时使当若对xxxfAAxfxx注意：;)(0是否有定义无关在点函数极限与xxf,)2(有关与任意给定的正数(1)表示00xx,0xx即.),(且不唯一00()εδxxδfxAε一般越小，也越小。当时，1010()δδxxδfxAε则对，时，也有$1-4函数的极限142、几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx.,,越小越好后找到一个显然证明的方法：Axfxx)(lim0从),()(0xxAxf中解出）即可（令(直接法或间接法).$1-4函数的极限15例Example2(P44)).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,,0对任给的0.lim0CCxx,0任取,00时则当xx例Example3(P45).lim00xxxx证明证,)(0xxAxf要使,0任给,即可取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx要使只要CCε$1-4函数的极限16例Example4(P45）.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取01,xδ当时函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx$1-4函数的极限17例Example5(P46).lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx不取负值且只要xxxx00.lim,0:000xxxxx时当证明.)(00即可xxxx0xo$1-4函数的极限18例Example6（补充）证明.sinsinlim00xxxx证Proof,0要使00sinsinsin)(xxxxf2sin2cos200xxxx2sin20xx220xx,0xx.即可取于是,当时，00xx,sinsin0xx故.sinsinlim00xxxx$1-4函数的极限19例Example7（补充）证明.03lim3xxx证Proof,0要使,23303xxxxx,3x,13x不妨设即,42x,2x,211x只要.23即可x取,2,1min则当时，30x,03xx故.03lim3xxx$1-4函数的极限203.单侧极限(one-sidedlimit):例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy$1-4函数的极限21左极限(leftlimit).)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限(rightlimit).)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作x0x0x0x$1-4函数的极限22.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例8（习题1-4，6）证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x注意：求分段点的极限必须用左右极限讨论.$1-4函数的极限23三、函数极限的性质1.有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.2.唯一性定理若)(limxf存在,则极限唯一.$1-4函数的极限24推论).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设3.不等式性质(characterofinequality)定理(保序性).),()(),,(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设（$1-6,P59,Th7）（补充）$1-4函数的极限25).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理1(保号性)证(Proof)0,AεA设取正数000lim()0,(,)(),()xxfxAεAδxUxδfxAεAεfxAε对正数，当时，即0,()0.Aεfx类似可证A0的情形。$1-4函数的极限26定理'1000lim(),(0),0,(,),().2xxfxAAAδxUxδfx若则当时2Aε（证取即可）).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若定理2（反证）20(1),1(),(1,)()01,1xxfxUδfxx如：在内1lim()0xfx但$1-4函数的极限274.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),,(21000时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax则有时的一个子列当是数列若定理$1-4函数的极限28证.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim0.0,,0,00xxNnNn恒有时使当对上述,)(Axfn从而有.)(limAxfnn故,lim00xxxxnnn且又$1-4函数的极限29例如,xxysin1sinlim0xxx,11sinlimnnn,11sinlimnnn11sin1lim22nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件(sufficientandnecessarycondition)是它的任何子列的极限都存在,且相等(equal).$1-4函数的极限30xy1sin证1,nxnπ取,0limnnx0;nx且1,412nxnπ取lim1,nnx;0nx且例9不存在证明xx1sinlim0(non-existence).$1-4函数的极限311limsinlimsinnnnnπx而,1141limsinlimsin2nnnnπx1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0$1-4函数的极限32四、小结Briefsummary函数极限的统一定义lim();nfnA;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)$1-4函数的极限33过程时刻从此时刻以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0x