（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第22课时 锐角三角函数及其应用课件

第22课时锐角三角函数及其应用基础知识巩固高频考向探究如图22-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则有:∠A的正弦:sinA=∠𝐴的对边斜边=①;∠A的余弦:cosA=∠𝐴的邻边斜边=②;∠A的正切:tanA=∠𝐴的对边∠𝐴的邻边=③.考点一锐角三角函数考点聚焦图22-1𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃基础知识巩固高频考向探究2.特殊角的三角函数值α三角函数30°45°60°sinα1222④cosα322212tanα33⑤31𝟑𝟐基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】规律记忆法:30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,2,3;30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值.基础知识巩固高频考向探究考点二解直角三角形如图22-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有下列关系:(1)两锐角之间的关系:∠A+∠B=⑥;(2)三边关系:a2+b2=⑦;(3)边角关系:sinA=𝑎𝑐=cosB;cosA=𝑏𝑐=⑧;tanA=⑨=1tan𝐵;(4)Rt△ABC中,在五个量∠A,∠B,a,b,c中,知道两个量(其中含一边),即可根据三边关系、三角关系或边角关系求解出其他三个量.图22-190°c2sinB𝒂𝒃基础知识巩固高频考向探究仰角和俯角在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角考点三解直角三角形的实际应用基础知识巩固高频考向探究坡度和坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比hl叫做坡面的坡度(或坡比),记作i;坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.tanα=hl,坡度越大,坡角越大,坡面（续表）越陡基础知识巩固高频考向探究（续表）方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[九下P84复习题28第1题改编]在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AB=6,则sinA=,cosA=,tanA=.𝟏𝟑𝟐𝟐𝟑𝟐𝟒基础知识巩固高频考向探究2.[九下P67练习第2题改编]在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=7,AC=21,则∠A=,∠B=.[答案]30°60°[解析]∵∠C=90°,BC=7,AC=21,∴tanA=𝐵𝐶𝐴𝐶=33,tanB=𝐴𝐶𝐵𝐶=3,∴∠A=30°,∠B=60°.基础知识巩固高频考向探究𝟐3.[九下P69习题28.1第3题改编]求下列各式的值:(1)sin45°+22=;(2)sin45°cos60°-cos45°=;(3)cos245°+tan60°cos30°=;(4)1-cos30°sin60°+tan30°=.-𝟐𝟒𝟑-12基础知识巩固高频考向探究4.[九下P85复习题28第11题改编]如图22-2,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=55cm,且tan∠EFC=34.则:(1)△AFB与△FEC的关系是(从形状考虑):;(2)矩形ABCD的周长为cm.图22-2[答案](1)△AFB∽△FEC[解析](1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°.由折叠的性质,得∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠CFE=90°,∴∠BAF=∠CFE,∴△AFB∽△FEC.基础知识巩固高频考向探究4.[九下P85复习题28第11题改编]如图22-2,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=55cm,且tan∠EFC=34.则:(2)矩形ABCD的周长为cm.图22-2基础知识巩固高频考向探究[答案](2)36[解析](2)∵tan∠EFC=34,∴在Rt△EFC中,𝐸𝐶𝐹𝐶=34,设EC=3xcm,则FC=4xcm,EF=5xcm,由折叠的性质,得DE=EF=5xcm,∴AB=CD=DE+CE=8xcm.∵∠BAF=∠EFC,∴tan∠BAF=𝐵𝐹𝐴𝐵=34,∴BF=6xcm,∴AF=10xcm,∴AE=𝐴𝐹2+𝐸𝐹2=55xcm.∵AE=55cm,∴x=1,∴AD=BC=AF=10x=10(cm),AB=CD=8x=8(cm),∴矩形ABCD的周长为10+10+8+8=36(cm).基础知识巩固高频考向探究5.[九下P84复习题28第8题改编]如图22-3,两座建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角α为35°12',测得C点的俯角β为43°24',则这两座建筑物AB,CD的高度分别为(结果保留小数点后一位).图22-3基础知识巩固高频考向探究[答案]30.8m,7.8m[解析]如图,延长CD与水平线交于点E,∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB=43°24'.∵∠B=90°,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24'≈30.8(m),在Rt△ADE中,DE=AE·tan∠EAD=32.6×tan35°12'≈23.0(m),∴CD=CE-DE=30.8-23.0=7.8(m).即建筑物AB的高约为30.8m,CD的高约为7.8m.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】不会构造直角三角形;解直角三角形构图时忽视高的多种情况.图22-4[答案]B[解析]连接BC,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1.故选B.6.[2018·贵阳]如图22-4,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.33D.3基础知识巩固高频考向探究7.[2018·无锡]在△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于.基础知识巩固高频考向探究[答案]153或103[解析]如图,作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D.①如图①,当AB,AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=AB·sinB=5,BD=AB·cosB=53,在Rt△ACD中,∵AC=27,∴CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=(27)2-52=3,∴BC=BD+CD=63.∴S△ABC=12BC·AD=12×63×5=153.基础知识巩固高频考向探究②如图②,当AB,AC在AD的同侧时,由①知,BD=53,CD=3,∴BC=BD-CD=43.∴S△ABC=12BC·AD=12×43×5=103.综上所述,△ABC的面积是153或103.基础知识巩固高频考向探究考向一解直角三角形图22-5例1如图22-5,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=13,AD=1.(1)求BC的长;(2)求tan∠DAE的值.基础知识巩固高频考向探究解:(1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC.在Rt△ABD中,∵sinB=𝐴𝐷𝐴𝐵=13,AD=1,∴AB=3,∴BD=32-12=22.在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1,∴BC=22+1.基础知识巩固高频考向探究图22-5例1如图22-5,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=13,AD=1.(2)求tan∠DAE的值.(2)∵AE是BC边上的中线,∴DE=22+12-1=2−12,∴tan∠DAE=𝐷𝐸𝐴𝐷=2-121=2−12.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·眉山]如图22-6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为.图22-6[答案]32[解析]在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,∴AC=52+122=13,∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,∴ED=BC=12,AD=AB=5,∠ADE=90°,∴CD=AC-AD=13-5=8,∴tan∠ECD=𝐸𝐷𝐷𝐶=128=32,故答案为:32.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·柳州]如图22-7,在△ABC中,sinB=13,tanC=22,AB=3,则AC的长为.图22-7[答案]3[解析]过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sinB=13,AB=3,∴AD=AB·sinB=1,在Rt△ACD中,tanC=22,∴𝐴𝐷𝐶𝐷=22,即CD=2,根据勾股定理得:AC=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=1+2=3,故答案为:3.基础知识巩固高频考向探究考向二解直角三角形的实际应用模型1子母型图22-8例2某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度,如图22-8,他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,再往摩天轮的方向前进50m至D处,测得最高点A的仰角为60°.求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB.(3≈1.732,结果保留整数)基础知识巩固高频考向探究解:根据题意,可知∠ACB=45°,∠ADB=60°,DC=50.在Rt△ABC中,∵∠BAC=∠BCA=45°,∴BC=AB.在Rt△ABD中,tan∠ADB=𝐴𝐵𝐵𝐷,∴BD=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐵tan60°=33AB.又∵BC-BD=DC,∴AB-33AB=50,即(3-3)AB=150,∴AB=1503-3=75+253≈118(m).答:该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118m.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】这种类型题的特点是:一个直角三角形包含在另一个直角三角形中,两个直角三角形有公共直角和一条公共直角边.这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介.如图22-9.图22-9基础知识巩固高频考向探究模型2背对背型例3呼和浩特市某中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走,在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20min后他走到B处,测得建筑物C在北偏西45°方向上,求建筑物C到公路AB的距离.(3≈1.732)图22-10基础知识巩固高频考向探究解:作CD⊥AB于D.由题意可知AB=50×20=1000(m),∠CAB=30°,∠CBA=45°,AD=𝐶𝐷tan30°,BD=𝐶𝐷tan45°,∴AD+BD=𝐶𝐷tan30°+𝐶𝐷tan45°=1000,∴3CD+CD=1000,解得CD=10003+1=500(3-1)≈366(m).答:建筑物C到公路AB的距离约为366m.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】这种类型题的特点是:两直角三角形是并列关系,有公共直角顶点和一条公共直角边,且这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介.如图22-11.图22-11基础知识巩固高频考向探究模型3拥抱型例4如图22-12所示,小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕,测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对大楼方向前进5m到达B处,又测得该屏幕上端C处的仰角为45°.若该楼房高为26.65m,小杨的眼睛离地面1.65m,广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐,求广告屏幕上端与下端之间的距离.(3≈1.732,结果精确到0.1m)图22-12基础知识巩固高频考向探究解:设AB,CD的延长线相交于点E.∵∠CBE=45°,CE⊥AE,∴CE=BE.∵CE=26.65-1.65=25,∴BE=25.∴AE=AB+BE=30.在Rt△ADE中,∠DAE=30°,∴DE=AE×tan30°=30×33=103,∴CD=CE-DE=25-103≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m).答:广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】两直角三角形以交叉方式出现,如图22-13.图22-13基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图22-141.[2019·呼和浩特20题]如图22-14①,已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔