（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第20课时 直角三角形与勾股定理（含命题

第20课时直角三角形与勾股定理(含命题、定理)基础知识巩固高频考向探究定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于③;(3)直角三角形斜边上的中线等于④;(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑤考点一直角三角形考点聚焦直角互余斜边的一半斜边的一半a2+b2=c2基础知识巩固高频考向探究（续表）判定(1)有一个角等于⑥的三角形是直角三角形(定义);(2)两个内角⑦的三角形是直角三角形;(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边上高的长度;(2)Rt△ABC内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即等于斜边的一半90°互余基础知识巩固高频考向探究考点二勾股定理的探索过程1.赵爽弦图如图20-1,∵大正方形的边长为c,∴大正方形的面积为c2.又∵大正方形的面积=4×12ab+(a-b)2=a2+b2,∴a2+b2=c2.图20-1基础知识巩固高频考向探究2.詹姆斯·加菲尔德总统拼图如图20-2,设梯形的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12a2+12b2+ab.又∵S=12ab+12ab+12c2=12c2+ab,∴a2+b2=c2.图20-2基础知识巩固高频考向探究3.毕达哥拉斯拼图由图20-3①得大正方形的面积为c2+4×12ab,由图②得大正方形的面积为a2+b2+4×12ab,∴a2+b2=c2.图20-3基础知识巩固高频考向探究考点三命题与定理定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义判断一件事情的语句,叫做命题分类题设成立时,结论一定成立的命题叫做⑧题设成立时,结论不一定成立的命题叫做⑨组成命题都是由⑩和⑪两部分组成的基本事实公认的真命题称为基本事实真命题假命题题设结论基础知识巩固高频考向探究（续表）定理要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理的过程叫做⑫.有些命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫做⑬互逆命题一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,这样的两个命题,称为互逆命题,如果我们把其中一个命题称为⑭,那么另一个命题就是它的⑮互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题也可以称为原定理的⑯,一个定理和它的逆定理是互逆定理证明定理原命题逆命题逆定理基础知识巩固高频考向探究考点四反证法定义不直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法证明步骤假设命题的结论不正确→从假设的结论出发,推出矛盾→否定假设,肯定原命题的结论正确基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.以下列各组数为三角形的边长,不能构成直角三角形的是()A.1,2,3B.9,40,41C.6,8,10D.7,24,25A基础知识巩固高频考向探究2.如图20-4,△ABC中,∠ACB为直角,∠A=30°,CD⊥AB于D,若BD=1,则AB的长度是()A.4B.3C.2D.1图20-4A基础知识巩固高频考向探究3.如图20-5,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=20°,则∠BDC的度数为()A.30°B.40°C.45°D.60°图20-5B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·深圳]下列命题正确的是()A.矩形对角线互相垂直B.方程x2=14x的解为x=14C.六边形内角和为540°D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等D基础知识巩固高频考向探究5.命题“如果两个数相等,那么它们的倒数相等”的逆命题是.如果两个数的倒数相等,那么它们也相等基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】运用勾股定理确定边长时,忽视分类讨论造成漏解.6.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.5或𝟕7.已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC=.2𝟑或2𝟕基础知识巩固高频考向探究考向一直角三角形的相关计算例1如图20-6,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE'C=度.图20-6基础知识巩固高频考向探究[答案]135[解析]连接EE'.∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE',∴∠EBE'=90°,∴△EBE'是直角三角形.∵△ABE与△CBE'全等,∴BE=BE'=2,∴∠BEE'=∠BE'E=45°.∵EE'=𝐵𝐸2+𝐸'𝐵2=22,AE=CE'=1,EC=3,∴EC2=E'C2+E'E2,∴△EE'C是直角三角形,且∠EE'C=90°,∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=135°.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.如图20-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.23图20-7[答案]C[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,∴AE=CE=5,∵AD=2,∴DE=3,∵CD为AB边上的高,∴在Rt△CDE中,CD=𝐶𝐸2-𝐷𝐸2=52-32=4,故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图20-8所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()A.9B.6C.4D.3图20-8D基础知识巩固高频考向探究3.如图20-9,△ABC中,AB=9,AC=6,AD⊥BC于点D,M为AD上任意一点,则MB2-MC2的值为.[答案]45[解析]在Rt△ABD和Rt△ADC中,BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,在Rt△BDM和Rt△CDM中,BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,∴MB2-MC2=(AB2-AD2+MD2)-(AC2-AD2+MD2)=AB2-AC2=45.故答案为:45.图20-9基础知识巩固高频考向探究4.[2019·永州]已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图20-10所示.若DE=2,则DF=.图20-10[答案]4[解析]∵∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠COB=30°,∵DE⊥OA,∴∠DFO=90°-60°=30°,∴∠DFO=∠COB=30°,∴DF=DO,在Rt△EDO中,DO=2DE=4,∴DF=4.基础知识巩固高频考向探究5.如图20-11,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,P是BC的中点,M,N分别在AB,AC边上,NP⊥MP,求证:MN2=BM2+CN2.图20-11基础知识巩固高频考向探究证明:如图,延长NP至N',使N'P=NP,连接MN',BN',易证△BN'P≌△CNP,∴BN'=CN,∠C=∠CBN'.∵∠BAC=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∴∠CBN'+∠CBA=90°,即∠MBN'=90°,∴MN'2=BN'2+BM2,∵NP=N'P,NP⊥MP,∴MN=MN',∴MN2=NC2+BM2.基础知识巩固高频考向探究图20-126.[2019·呼和浩特18题]如图20-12,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;(2)求证:△ABC的内角和等于180°;(3)若𝑎𝑎-𝑏+𝑐=12(𝑎+𝑏+𝑐)𝑐,求证:△ABC是直角三角形.解:(1)∠C∠A+∠B.基础知识巩固高频考向探究图20-126.[2019·呼和浩特18题]如图20-12,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(2)求证:△ABC的内角和等于180°;基础知识巩固高频考向探究(2)证明:过点B作直线DE∥AC,∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBE.又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°,∴∠A+∠ABC+∠C=180°.∴△ABC的内角和等于180°.基础知识巩固高频考向探究图20-126.[2019·呼和浩特18题]如图20-12,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(3)若𝑎𝑎-𝑏+𝑐=12(𝑎+𝑏+𝑐)𝑐,求证:△ABC是直角三角形.基础知识巩固高频考向探究(3)证明:原式可变形为𝑎𝑎+𝑐-𝑏=𝑎+𝑏+𝑐2𝑐,∴(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形.基础知识巩固高频考向探究考向二命题例2[2017·包头]已知下列命题:①若ab,则a2b2;②若a1,则(a-1)0=1;③两个全等三角形的面积相等;④四条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1[答案]D[解析]①原命题错误,逆命题错误;②原命题正确,逆命题错误;③原命题正确,逆命题错误;④原命题正确,逆命题正确.故选D.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·呼和浩特10题]以下四个命题:①用换元法解分式方程-𝑥2+1𝑥+2𝑥𝑥2+1=1时,如果设𝑥2+1𝑥=y,那么可以将原方程化成关于y的整式方程y2+y-2=0;②如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a,那么a=2rcos54°;③有一个圆锥,与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高,如果这个圆锥的侧面展开图是半圆,那么它的母线长为43;④二次函数y=ax2-2ax+1,自变量的两个值x1,x2,对应的函数值分别为y1,y2,若|x1-1||x2-1|,则a(y1-y2)0.其中正确的命题个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个D基础知识巩固高频考向探究2.[2019·呼和浩特12题]下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,其中正确的命题的序号为.①②基础知识巩固高频考向探究3.[2017·呼和浩特14题]下面三个命题:①若𝑥=𝑎,𝑦=𝑏是方程组|𝑥|=2,2𝑥-𝑦=3的解,则a+b=1或a+b=0;②函数y=-2x2+4x+1通过配方可化为y=-2(x-1)2+3;③最小角等于50°的三角形是锐角三角形.其中正确命题的序号为.②③基础知识巩固高频考向探究4.[2016·呼和浩特16题]以下四个命题:①对应角和面积都相等的两个三角形全等;②“若x2-x=0,则x=0”的逆命题;③若关于x,y的方程组-𝑥+𝑦-𝑎=0,𝑏𝑥-𝑦+1=0有无数多组解,则a=b=1;④将多项式5xy+3y-2x2y因式分解,其结果为-y(2x+1)(x-3).其中正确的命题的序号为.基础知识巩固高频考向探究[答案]①②③④[解析]①正确.对应角相等的两个三角形相似,又因为面积相等,所以相似比为1,所以两个三角形全等,故正确.②正确.理由:“若x2-x=0,则x=0”的逆命题为“若x=0,则x2-x=0”,故正确.③正确.理由:∵关于x,y的方程组-𝑥+𝑦-𝑎=0,𝑏𝑥-𝑦+1=0有无数多组解,∴-1𝑏=1-1=-𝑎1,∴a=b=1,故正确.④正确.理由:5