（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件

第18课时全等三角形基础知识巩固高频考向探究考点一全等三角形的概念及性质考点聚焦1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质(1)全等三角形的对应边①,对应角②;(2)全等三角形的周长③,面积④;(3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都⑤.相等相等相等相等相等基础知识巩固高频考向探究考点二全等三角形的判定1.全等三角形的判定方法对应相等的元素三角形是否全等一般三角形两边一角两边及其夹角全等(SAS)两边及其中一边的对角不一定全等两角一边两角及其夹边全等(ASA)两角及其中一角的对边全等(AAS)三角不一定全等三边全等(SSS)基础知识巩固高频考向探究（续表）对应相等的元素三角形是否全等直角三角形斜边、直角边全等(HL)总结判定一般三角形全等,无论用哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等基础知识巩固高频考向探究2.全等三角形的判定思路(1)已知两边找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS(2)已知一边和一角边为角的对边→找任意一角→AAS边为角的邻边找已知角的另一邻边→SAS找已知边的另一邻角→ASA找已知边的对角→AAS基础知识巩固高频考向探究(3)已知两角找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.如图18-1,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC图18-1C基础知识巩固高频考向探究2.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图18-2,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是()A.SASB.AASC.ASAD.SSSD图18-2基础知识巩固高频考向探究3.如图18-3,方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段AB.在这个方格纸上找一点C,使得△ABC与这个格点三角形全等,这样的C点可以找到个.图18-3[答案]4[解析]如图共有4个点符合,故答案为:4.基础知识巩固高频考向探究4.如图18-4所示,已知AD⊥BC于D,若直接根据“HL”判定△ABD≌△ACD,还需添加的一个条件是.图18-4AB=AC基础知识巩固高频考向探究5.如图18-5,在△ABC中,∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,则∠EDF与∠A的关系是.图18-5∠EDF=90°-𝟏𝟐∠A基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】注意分情况讨论.6.下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]①正确,可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等;②正确,可以用“倍长中线法”,用SAS定理判定两个三角形全等.如图,分别延长AD,A'D'到E,E',使得DE=AD,D'E'=A'D',连接BE,B'E‘,∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC,同理:B'E'=A'C‘,∴BE=B'E',AE=A'E',∴△ABE≌△A'B'E‘,∴∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E',∴∠CAD=∠C'A'D‘,∴∠BAC=∠B'A'C‘,∴△BAC≌△B'A'C‘.③不正确,因为这个高可能在三角形的内部,也有可能在三角形的外部,也就是说,这两个三角形可能一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,所以不一定全等.故选:A.基础知识巩固高频考向探究7.如图18-6,有Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△PQA全等,则AP=.6或12图18-6基础知识巩固高频考向探究考向全等三角形的性质及判定模型1旋转型将△ABC绕顶点A旋转θ角后,到达△AB‘C’的位置,则称△ABC和△AB‘C’为旋转型全等三角形.如图18-7所示,这些是常见的旋转型全等三角形.图18-7基础知识巩固高频考向探究识别旋转型全等三角形时,要注意图①②③中以点A,B,B'和点A,C,C'为顶点的三角形都是顶角为θ的等腰三角形,∠BAC和∠B'AC'隐含着一个等量减(加)等量的条件,通常用边角边(SAS)来识别两个三角形全等.图18-7基础知识巩固高频考向探究例1[2019·苏州]如图18-8,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.图18-8基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.基础知识巩固高频考向探究例1[2019·苏州]如图18-8,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.图18-8基础知识巩固高频考向探究(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角,∠ACB=28°,∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2016·呼和浩特21题]已知:如图18-9,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图18-9基础知识巩固高频考向探究证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,𝐴𝐶=𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐸=𝐶𝐷,∴△ACE≌△BCD(SAS).基础知识巩固高频考向探究1.[2016·呼和浩特21题]已知:如图18-9,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图18-9基础知识巩固高频考向探究(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°,∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,∴2CD2=AD2+DB2.基础知识巩固高频考向探究2.将两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DBE按图18-10①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证:AF+EF=DE;(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°α60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立;图18-10基础知识巩固高频考向探究(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°β180°,其他条件不变,如图③,你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.图18-10基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:连接BF,∵△BED≌△BCA,∴BE=BC,又∵BF是公共边,∴Rt△BCF≌Rt△BEF,∴CF=EF,∴AF+EF=AC=DE.基础知识巩固高频考向探究2.将两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DBE按图18-10①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°α60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立;图18-10(2)图略.(1)中的结论成立.基础知识巩固高频考向探究2.将两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DBE按图18-10①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°β180°,其他条件不变,如图③,你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.图18-10基础知识巩固高频考向探究(3)(1)中的结论不成立,AF-EF=DE.连接BF,与(1)同理,得Rt△BCF≌Rt△BEF,∴CF=EF,∴AF-EF=AF-CF=AC=DE.基础知识巩固高频考向探究模型2对称型把一个图形沿着某一条直线翻折过来,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线对称.把△ABC沿直线l翻折后,能与△A'B'C'重合,则称它们是轴对称型全等三角形.图18-11是常见的轴对称型全等三角形,其对称轴l是对称点所连线段的垂直平分线.图18-11基础知识巩固高频考向探究识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件,例如有些具有公共边(如图①中的AC,图④中的AA'),有些具有公共角或对顶角(如图②中的∠BAC=∠B'AC',图③中的∠ACB=∠A'CB').图18-11基础知识巩固高频考向探究例2如图18-12,在∠A的两边上分别截取AB=AC,在AB上截取AE,在AC上截取AD,且使AD=AE,试问:BD与CE的交点P是否在∠A的平分线上?图18-12解:连接AP,∵AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.∵AB=AC,AD=AE,∴BE=CD,∵∠BPE=∠CPD,∴△BEP≌△CDP,∴PE=PD,又∵AE=AD,AP=AP,∴△APD≌△APE,∴∠PAD=∠PAE,∴点P在∠BAC的平分线上.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.如图18-13,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.图18-13证明:∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,∴△ABO≌△CDO,∴AO=CO,BO=DO.又∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,即OF=OE.又∵∠FOD=∠EOB,∴△FOD≌△EOB(SAS).∴FD=BE.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·淄博]已知,在如图18-14所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠E=∠C.图18-14证明:∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,𝐴𝐵=𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸,𝐴𝐶=𝐴𝐸,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠E=∠C.基础知识巩固高频考向探究模型3三垂直型垂直模型(弦图模型)图18-15基础知识巩固高频考向探究例3如图18-16,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC于点B,且DC=EC.请问AB,AD,BE之间存在怎样的数量关系?并说明理由.图18-16基础知识巩固高频考向探究解:BE=AB+AD.理由如下:∵∠DCE=90°,∠DAC=90°,∴∠D+∠DCA=90°,∠DCA+∠ECB=90°,∴∠D=∠ECB.∵DC=EC,BE⊥AC于B,∴△ADC≌△BCE(AAS),∴AD=BC,AC=BE.∴AB+AD=AB+BC=AC=BE.基础知识巩固高频考向探