（呼和浩特专版）2020中考数学复习方案 第七单元 图形的变化 第29课时 轴对称与中心对称课件

单元思维导图第29课时轴对称与中心对称基础知识巩固高频考向探究考点一轴对称与中心对称考点聚焦轴对称中心对称图形性质(1)成轴对称的两个图形是全等图形;(2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴;(3)对应点连线被对称轴①(1)成中心对称的两个图形完全是全等图形;(2)成中心对称的两个图形只有一个对称中心;(3)对应点连线交于对称中心,并且被对称中心②垂直平分平分基础知识巩固高频考向探究考点二轴对称图形与中心对称图形轴对称图形中心对称图形图形判断方法(1)有对称轴——直线;(2)图形沿对称轴折叠后完全重合(1)有对称中心——点;(2)图形绕对称中心旋转③后完全重合总结轴对称图形和中心对称图形均是特殊形状的一个图形,但轴对称及中心对称是两个全等图形的位置关系180°基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】常见的轴对称图形、中心对称图形基础知识巩固高频考向探究考点三图形的折叠及最短路径问题1.图形的折叠(1)位于折痕两侧的图形关于折痕④;(2)折叠前后的两部分图形全等,对应边、角、线段、周长、面积等均相等;(3)折叠前后,对应点的连线被折痕所在直线垂直平分.成轴对称基础知识巩固高频考向探究2.求最短路径问题(1)基本问题:如图29-1①,在直线l上找一点P,使得点P到点A和点B的距离之和最短,即PA+PB的值最小.(2)方法:作轴对称图形.依据:轴对称的性质;两点之间线段最短.(3)具体作法:如图②,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l相交于点P,连接PA,PB,则点P即为所求,此时PA+PB的值最小.图29-1基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[八上P60练习第1题改编]如图29-2所示的图形中,是轴对称图形的是,是中心对称图形的是.(填序号)(1)(2)(4)图29-2(3)(4)基础知识巩固高频考向探究2.[八上P71习题13.2第3题]如图29-3,以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系,点A的坐标为(1,1),点B,C,D的坐标分别为,,.(1,-1)图29-3(-1,-1)(-1,1)基础知识巩固高频考向探究3.如图29-4,△ABC与△A‘B’C‘关于O成中心对称,下列结论中一定成立的是(填序号).①∠ABC=∠A'C'B';②OA=OA';③BC=B'C';④OC=OC'.图29-4[答案]②③④[解析]对应点的连线被对称中心平分,②④正确;成中心对称的两个图形是全等形,那么对应线段相等,③正确.没有条件可以判断①正确.基础知识巩固高频考向探究4.如图29-5,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为.图29-512基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】轴对称图形与中心对称图形出现混淆;不明白折叠的实质是轴对称导致出错;不能利用轴对称解决最短路线问题.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·合肥二模]如图29-6,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上的一动点,则PA+PE的最小值是()A.213B.6C.25D.5图29-6基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]在CB上截取CM=CA,连接DM,在△CDA与△CDM中,𝐴𝐶=𝐶𝑀,∠𝐴𝐶𝐷=∠𝑀𝐶𝐷,𝐶𝐷=𝐶𝐷,∴△CDA≌△CDM(SAS),∴AD=DM,∴点A,M关于CD成轴对称,连接ME交CD于P,此时EM的长即为PA+PE的最小值,最小值=22+42=25,故选C.基础知识巩固高频考向探究6.在等腰三角形、矩形、等腰梯形和圆中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有个.2基础知识巩固高频考向探究7.如图29-7,△ABC是等边三角形,点M,N分别是边AB,BC上的点(异于两端点),将△BMN沿着直线MN对折,得到△DMN,且DM,DN分别交AC于点E,F,若△DEF是直角三角形,则∠BMN的度数为.图29-7基础知识巩固高频考向探究[答案]75°或45°[解析]如图①,当∠DEF=90°时,∠AMD=90°-∠A=30°,∴∠BMD=180°-∠AMD=150°,故∠BMN=12∠BMD=75°;如图②,当∠DFE=90°时,∠AEM=∠DEF=30°,∴∠AME=90°,则∠BMN=12∠BMD=45°.基础知识巩固高频考向探究考向一对称图形的识别例1[2015·呼和浩特2题]下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()图29-8A基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·呼和浩特2题]甲骨文是我国的一种古代文字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文,其中不是轴对称的是()B图29-9基础知识巩固高频考向探究2.[2019·扬州]下列图案中,是中心对称图形的是()D图29-103.[2019·包头昆区二模]下列图形中,不是中心对称图形的是()A.圆B.菱形C.线段D.等边三角形D基础知识巩固高频考向探究考向二对称图形的性质例2如图29-11,B是线段AC上一点,△ABD与△BCE均为等边三角形.(1)求证:AE=CD;(2)若△BCE'与△BCE关于直线AC成轴对称,AE'与CD还相等吗?画出图形.若相等,请给出证明;若不相等,请说明理由;(3)AE'与BD相交于点F,CD与BE'相交于点G,连接FG,试判断△FBG的形状,并加以证明.图29-11基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵△ABD与△BCE均为等边三角形,∴在△ABE和△DBC中,𝐴𝐵=𝐷𝐵,∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐶,𝐵𝐸=𝐵𝐶,∴△ABE≌△DBC,∴AE=CD.基础知识巩固高频考向探究例2如图29-11,B是线段AC上一点,△ABD与△BCE均为等边三角形.(2)若△BCE'与△BCE关于直线AC成轴对称,AE'与CD还相等吗?画出图形.若相等,请给出证明;若不相等,请说明理由;图29-11(2)相等.画图略.证明:∵△BCE'与△BCE关于直线AC成轴对称,∴点E和E'关于直线AC成轴对称,∴AE=AE'.又AE=CD,∴AE'=CD.基础知识巩固高频考向探究例2如图29-11,B是线段AC上一点,△ABD与△BCE均为等边三角形.(3)AE'与BD相交于点F,CD与BE'相交于点G,连接FG,试判断△FBG的形状,并加以证明.图29-11基础知识巩固高频考向探究(3)△FBG为等边三角形.证明:在△AE'C和△AEC中,𝐴𝐸'=𝐴𝐸,𝐸'𝐶=𝐸𝐶,𝐴𝐶=𝐴𝐶,∴△AE'C≌△AEC,∴∠E'AC=∠EAC.又∵△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC,∴∠BAF=∠BDG.在△ABF和△DBG中,∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐷𝐺,𝐴𝐵=𝐷𝐵,∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐷𝐵𝐺,∴△ABF≌△DBG,∴BF=BG,又∠DBG=60°,∴△FBG为等边三角形.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图29-121.[2017·呼和浩特3题]图29-12中序号①②③④对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是()A.①B.②C.③D.④[答案]A[解析]∵轴对称是沿着某条直线翻折得到新图形,∴通过轴对称得到的是①.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·呼和浩特9题]已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A,B,C,D按逆时针依次排列,若A点的坐标为(2,3),则B点与D点的坐标分别为()A.(-2,3),(2,-3)B.(-3,2),(3,-2)C.(-3,2),(2,-3)D.-72,212,72,-212B基础知识巩固高频考向探究图29-133.如图29-13,用3个边长为1的正方形组成一个轴对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为()A.2B.52C.54D.51716基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]如图,设能将其完全覆盖的最小圆的圆心为O,连接OC,OD,延长BO交上面的正方形于点A,设OE=x,则BO=1-x,BC=1,AD=0.5,AO=1+x,故BC2+BO2=AD2+AO2,即1+(1-x)2=(1+x)2+0.52,解得x=316,所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2=1+(1-x)2,解得R=51716.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·烟台]小明将一张正方形纸片按如图29-14所示的顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙),∠AOB的度数是.图29-1445°基础知识巩固高频考向探究考向三折叠的相关计算例3[2019·呼和浩特一模]如图29-15,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F.(1)求证:△EDF≌△CBF;(2)若AD=2,BD=4,求∠EBC的大小及CF的长.图29-15基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD.根据折叠的对称性可知DE=AD,∴DE=BC.又∵∠E=∠C=90°,∠DFE=∠BFC,∴△EDF≌△CBF(AAS).基础知识巩固高频考向探究例3[2019·呼和浩特一模]如图29-15,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F.(2)若AD=2,BD=4,求∠EBC的大小及CF的长.图29-15基础知识巩固高频考向探究(2)∵在Rt△BDC中,BD=4,BC=AD=2,∴∠BDC=30°.∵△EDF≌△CBF,∴BF=DF,∴∠DBF=∠FDB=30°.根据折叠的对称性可得∠ABD=∠DBE=30°,∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.在Rt△BCF中,tan∠FBC=𝐹𝐶𝐵𝐶,即33=𝐹𝐶2,解得FC=233.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)求解图形翻折问题,关键是灵活应用轴对称的性质:折叠后,折痕两侧的图形全等.另外需要注意的是折线不仅是对应线段的角平分线,还是对应点连线的中垂线.(2)求解两条线段之和的最值问题,通常利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短(或三角形三边关系)得到结果.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.如图29-16,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的边长为4,把△OAB沿AB所在的直线翻折,点O落在点C处,则点C的坐标为.图29-16(6,2𝟑)基础知识巩固高频考向探究2.如图29-17,矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为.图29-175基础知识巩固高频考向探究图29-183.[2019·实验教育集团模拟]如图29-18,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部,将AF延长交边BC于点G.若𝐶𝐺𝐺𝐵=1𝑘,则𝐴𝐷𝐴𝐵=(用含k的代数式表示).基础知识巩固高频考向探究[解析]∵点E是边CD的中点,∴DE=CE,∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,∴DE=EF,AF=AD,∠AFE=∠D=90°,∴CE=EF,连接EG.在Rt△ECG和Rt△EFG中,𝐸𝐺=𝐸𝐺,𝐶𝐸=𝐸𝐹,∴Rt△ECG≌Rt△EFG(HL),∴CG=FG,[答案]𝑘+12基础知识巩固高频考向探究设CG=a,∵𝐶𝐺𝐺𝐵=1𝑘,∴GB=ka,∴BC=CG+BG=a+ka=a(k+1),在矩形ABCD中,AD=BC=a(k+1),∴AF=a(k+1),AG=AF+FG=a(k+1)+a=a(k+2),在Rt△ABG中,AB=𝐴𝐺2-𝐵𝐺2=[𝑎(𝑘+2)]2-(𝑘𝑎)2=2a𝑘+1,∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝑎(𝑘+1)2𝑎𝑘+1=𝑘+12.故答案为𝑘+12.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·鄂尔多斯模拟]如图29-19,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为