（河北专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数 第13课时 二次函数的图象与性质课件

第13课时二次函数的图象与性质考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+c【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.a≠0函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤顶点坐标⑥考点二二次函数的图象与性质向上向下x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”（续表）减小增大增大减小函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性𝑎的大小决定抛物线的开口大小,𝑎越大,抛物线的开口越小;𝑎越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c（续表）小大考点三二次函数的图象与系数的关系项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向⑬a0开口向⑭bb=0对称轴为⑮轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑯侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑰侧cc=0经过点⑱c0与y轴⑲相交c0与y轴⑳相交上下y左右(0,0)正半轴负半轴项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有㉑个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=㉒若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=㉓时,y0（续表）两a-b+c-1考点四二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)考点六二次函数图象的平移抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的开口㉗和形状都相同,只是位置不同,它们之间的关系如图13-1:图13-1大小抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的符号方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个㉘的实数根1个b2-4ac=0两个㉙的实数根没有b2-4ac0㉚实数根考点七二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围;(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围.题组一必会题对点演练1.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的[答案]C[解析]A.∵a=10,∴抛物线开口向上,选项A不正确;B.∵-𝑏2𝑎=12,∴抛物线的对称轴为直线x=12,选项B不正确;C.当x=0时,y=x2-x=0,∴抛物线经过原点,选项C正确;D.∵a0,抛物线的对称轴为直线x=12,∴当x12时,y随x值的增大而增大,选项D不正确.2.一条抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为()A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+3B[答案]C[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.3.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.34.[2019·陇南]将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为.5.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.y=(x-2)2+1y=2(x+1)2-2题组二易错题【失分点】当函数类型没有明确指出时,其图象与x轴的交点要分情况讨论;考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值与对称轴的位置.6.若关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.[答案]0或-1[解析]令y=0,则kx2+2x-1=0.∵关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,∴关于x的方程kx2+2x-1=0只有一个根.①当k=0时,2x-1=0,解得x=12,∴原方程只有一个根,∴k=0符合题意;②当k≠0时,Δ=4+4k=0,解得k=-1.综上所述,k=0或-1.[答案]C[解析]二次函数y=(x-m)2-1的对称轴为x=m.∵当x1时,y随x的增大而减小,∴m≥1.7.若二次函数y=(x-m)2-1,当x1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是()A.m=1B.m1C.m≥1D.m≤1[答案]B[解析]二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h2或h5.当h2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知h=1或6,故选B.8.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6考向一二次函数的图象与性质（7年4考,1次涉及）例1已知二次函数y=x2-4x+3.(1)函数图象的对称轴为,顶点M的坐标为;函数图象与y轴的交点C的坐标为;函数图象与x轴的交点A,B的坐标分别为,(点A在点B的左边),△MBC的面积为;(2)画出函数的图象;(3)当y0时,求x的取值范围;(直接写出结果)(4)当1x5时,求y的取值范围.直线x=2(2,-1)(0,3)(1,0)(3,0)3例1已知二次函数y=x2-4x+3.(2)画出函数的图象;(2)如图所示.例1已知二次函数y=x2-4x+3.(3)当y0时,求x的取值范围;(直接写出结果)(3)x1或x3.例1已知二次函数y=x2-4x+3.(4)当1x5时,求y的取值范围.(4)因为函数图象的对称轴是x=2且开口方向向上,所以当1x2时,y随x的增大而减小;当2x5时,y随x的增大而增大.所以当x=2时,y有最小值,y最小=-1.因为当x=1时,y=0;当x=5时,y=8.所以当1x5时,y的取值范围是-1≤y8.|考向精练|1.[2019·深圳]已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-2所示,则函数y=ax+b与y=的图象为()图13-2图13-3[答案]C[解析]由二次函数的图象可知,a0,b0,c0.当a0,b0,c0时,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限;反比例函数y=的图象位于第二、四象限,选项C符合.故选C.𝑐𝑥𝑐𝑥2.[2018·河北16题]对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确[答案]D[解析]令-x(x-3)+c=x+2,得x2-2x+2-c=0.x=2±2𝑐-12=1±𝑐-1.当c=1时,x1=x2=1.只有一个交点,且满足0≤x≤3,符合题意;当c=2时,x1=2,x2=0,有两个交点,不符合题意;当c=3时,x1=1+2,x2=1-2,满足0≤1+2≤3,符合题意;当c=4时,x1=1+3,x2=1-3,满足0≤1+3≤3,符合题意;当c=5时,x1=3,x2=-1,满足0≤3≤3,符合题意.可以验证,当c取超过5的整数时,均不符合题意.所以c的取值为1,3,4,5.故选D.3.[2017·河北15题]如图13-4,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象是()图13-4图13-5[答案]D[解析]令y=0,得x1=-3,x2=3,令x=0,得y=3,故抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域的三个关键点坐标分别是(-3,0),(3,0),(0,3).当-3x3且x为整数时,x=-1,0,1.当x=-1时,y=2;当x=1时,y=2,故区域内(不含边界)的整点为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共4个,即k=4.所以反比例函数解析式为y=4𝑥.故选D.4.[2015·河北25题]如图13-6,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)若抛物线l经过点B,求它的函数表达式,并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时抛物线l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被抛物线l只分为两部分,且这两部分的长度之比是1∶4时,求h的值.图13-6解:(1)把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1,解得h=2,∴抛物线l的函数表达式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3),对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1).4.[2015·河北25题]如图13-6,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时抛物线l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1x2≥0,比较y1与y2的大小;图13-6(2)∵点C的横坐标为0,∴yC=-h2+1,∴当h=0时,yC有最大值为1.