（广西课标版）2020版高考数学二轮复习 6.1 直线与圆课件 文

6.1直线与圆-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文20)(2015全国Ⅱ,文7)(2016全国Ⅰ,文15)(2016全国Ⅱ,文6)(2016全国Ⅲ,文15)(2017全国Ⅲ,文11)(2017全国Ⅲ,文20)(2018全国Ⅰ,文15)(2018全国Ⅲ,文8)(2019全国Ⅰ,文21)(2019全国Ⅱ,文12)(2019全国Ⅲ,文21)选择题填空题解答题从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以解答题的形式出现.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是圆的方程,直线与圆的位置关系,圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的范围等.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线方程的应用【思考】在利用已知条件设直线方程时,应注意些什么?求直线方程的基本方法是什么?例1“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A解析因为直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行,所以𝑎(𝑎-1)-2=0,4𝑎-2×(-2)≠0,解得𝑎=2或𝑎=-1,𝑎≠-1.所以a=2.故“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的充要条件.-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.在设直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.2.在设直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解.3.求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时,要注意方程的选择、分类讨论思想的应用.4.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.4x-3y+9=0解析方法一:由方程组2𝑥+3𝑦+1=0,𝑥-3𝑦+4=0,解得𝑥=-53,𝑦=79,即交点为-53,79.∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,∴所求直线的斜率为k=43.由点斜式得所求直线方程为y-79=43𝑥+53,即4x-3y+9=0.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四方法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,由方程组2𝑥+3𝑦+1=0,𝑥-3𝑦+4=0,解得交点为-53,79,代入4x-3y+m=0得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0.方法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.①又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆的方程及其应用【思考】圆的方程有几种不同形式?求圆的方程的基本方法有哪些?例2设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.(x+1)2+(y-3)2=1解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1.由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=-3,直线AF的方程为y=-3x+3.∵点A在直线AF上,∴b=3.则圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.圆的三种方程:(1)圆的标准方程,(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程,x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).(3)圆的直径式方程,(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).2.求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.x2+y2-2x=0解析设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线与圆、圆与圆的位置关系【思考】如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系?例3(1)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为,则圆C的方程为.(2)设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,☉C:(x-a)2+y2=1.若☉C既与线段AB有公共点,又与直线l有公共点,则实数a的取值范围是.6(x-1)2+(y+1)2=21-2,1+52-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析(1)因为所求圆的圆心在直线x+y=0上,所以设所求圆的圆心为(a,-a).又因为所求圆与直线x-y=0相切,所以半径r=2|𝑎|2=2|a|.又因为所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为6,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=|2𝑎-3|2,所以d2+622=r2,即(2𝑎-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(2)因为圆与直线l有交点,∴圆心到直线的距离小于等于半径,即𝑎21+𝑎2≤1,所以a2∈0,1+52.因为☉C与线段AB相交,所以a≤2,且|𝑎-1|2≤1,即1-2≤𝑎≤2+1,𝑎≤2,1-2≤a≤2,因此可得实数a的取值范围是1-2,1+52.-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.判定直线与圆位置关系的两种方法:(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况),Δ0⇔相交,Δ0⇔相离,Δ=0⇔相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小),设圆心到直线的距离为d,则dr⇔相交,dr⇔相离,d=r⇔相切.判定圆与圆位置关系与判定直线与圆位置关系类似.2.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3若一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34D解析如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=|-3𝑘-2-2𝑘-3|1+𝑘2=1,解得k=-43或k=-34.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四与圆有关的轨迹问题【思考】求轨迹方程常用的方法有哪些?例4已知点P(2,2),☉C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与☉C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解(1)☉C的方程可化为x2+(y-4)2=16,则圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则𝐶𝑀=(x,y-4),𝑀𝑃=(2-x,2-y).由题设知𝐶𝑀·𝑀𝑃=0,则x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.因为点P在☉C的内部,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.因为|OP|=|OM|,所以O在线段PM的垂直平分线上,又P在☉N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,所以l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以△POM的面积为165.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、相关点法(坐标代入法)等,解决此类问题时要读懂题目给出的条件,进行合理转化,准确得出结论.2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4已知过原点的动直线l与☉C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求☉C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解(1)☉C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以☉C1的圆心坐标为(3,0).-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C32,0,半径r=12|OC1|=12×3=32,其方程为𝑥-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在☉C1内,所以(𝑥-3)2+𝑦22.又x2+y2-3x=0,所以可得x53.易知x≤3,所以53x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=053𝑥≤3.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0),斜率为k的直线.结合图形,𝑥0-322+𝑦02=9453𝑥0≤3表示的是一段关于x轴对称,起点为F53,-253按逆时针方向运动到E53,253的圆弧(不含端点).根据对称性,只需讨论在x轴下方的圆弧.由F53,-253,则kFT=2534-53=257,而当直线L与轨迹C相切时,3𝑘2-4𝑘𝑘2+1=32,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为25734,所以kFTk.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四结合图形,可得对于x轴下方的圆弧,当0≤k≤257或k=34时,直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-257≤k0或k=-34时,直线L与x轴上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述,当-257≤k≤257或k=±34时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.-21-2341561.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12D解析由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径为1,则圆心到直线3x+4y=b的距离,所以b=2或b=12.d=|7-𝑏|5=1-22-2341562.若从点P(m,3)向圆C:(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为()A.26B.26C.4+2D.5A解析设切点为M,则CM⊥MP,则切线长|MP|=|𝐶𝑃|2-|𝑀𝐶|